Efetue as operações indicadas abaixo:
\operatorname{Im}\left(\frac{(1+\sqrt{3} i)^{1013}}{(1+i)^{2026}}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá:
  • Pede a parte imaginária de \dfrac{(1+\sqrt{3}\,i)^{1013}}{(1+i)^{2026}}, ou seja, calcular \operatorname{Im}\!\left(\dfrac{(1+\sqrt{3}\,i)^{1013}}{(1+i)^{2026}}\right).
  • Informações dadas (as duas partes do número complexo):
    • 1+\sqrt{3}\,i.
    • 1+i.
  • Não há outras informações externas; a solução virá de manipular esses números complexos e usar potências e argumentos.

Passo 2

Converter cada número complexo para forma polar (módulo e argumento), porque potências ficam fáceis com a forma trigonométrica.
  • Para 1+\sqrt{3}\,i:
    • Módulo: \sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2.
    • Argumento: \arg(1+\sqrt{3}\,i)=\arctan\!\left(\dfrac{\sqrt{3}}{1}\right)=\dfrac{\pi}{3} (ângulo no primeiro quadrante).
    • Logo \;1+\sqrt{3}\,i=2\big(\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}\big)=2\operatorname{cis}\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right).
  • Para 1+i:
    • Módulo: \sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}.
    • Argumento: \arg(1+i)=\arctan(1)=\dfrac{\pi}{4}.
    • Logo \;1+i=\sqrt{2}\operatorname{cis}\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right).

Passo 3

Aplicar a fórmula de De Moivre para elevar à potência.
  • (1+\sqrt{3}\,i)^{1013}=\big(2\operatorname{cis}\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\big)^{1013}=2^{1013}\operatorname{cis}\!\left(\dfrac{1013\pi}{3}\right).
  • (1+i)^{2026}=\big(\sqrt{2}\operatorname{cis}\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\big)^{2026}=(\sqrt{2})^{2026}\operatorname{cis}\!\left(\dfrac{2026\pi}{4}\right).
  • Note que (\sqrt{2})^{2026}=2^{1013}. Portanto \frac{(1+\sqrt{3}\,i)^{1013}}{(1+i)^{2026}} =\frac{2^{1013}\operatorname{cis}\!\left(\dfrac{1013\pi}{3}\right)}{2^{1013}\operatorname{cis}\!\left(\dfrac{2026\pi}{4}\right)} =\operatorname{cis}\!\left(\dfrac{1013\pi}{3}-\dfrac{2026\pi}{4}\right).

Passo 4

Calcular a diferença dos argumentos e simplificá-la:
\dfrac{1013\pi}{3}-\dfrac{2026\pi}{4} =\pi\!\left(\dfrac{1013}{3}-\dfrac{2026}{4}\right).
Colocando em denominador comum 12:
\dfrac{1013}{3}-\dfrac{2026}{4}=\dfrac{1013\cdot4-2026\cdot3}{12} =\dfrac{4052-6078}{12}=\dfrac{-2026}{12}=\dfrac{-1013}{6}.
Logo o argumento é \varphi=-\dfrac{1013\pi}{6} e
\frac{(1+\sqrt{3}\,i)^{1013}}{(1+i)^{2026}}=\operatorname{cis}\!\left(-\dfrac{1013\pi}{6}\right) =\cos\!\left(-\dfrac{1013\pi}{6}\right)+i\sin\!\left(-\dfrac{1013\pi}{6}\right).

Passo 5

Reduzir o ângulo módulo 2\pi para avaliar a parte imaginária (lembre: \sin tem período 2\pi). Escrevendo em unidades de \pi/6, um período corresponde a 12 incrementos de \pi/6.
  • Encontrar 1013 \bmod 12: 1013 = 12\cdot84 + 5,logo 1013\equiv5\pmod{12}.
  • Assim \dfrac{1013\pi}{6}\equiv \dfrac{5\pi}{6}\pmod{2\pi}.
  • Portanto \sin\!\left(\dfrac{1013\pi}{6}\right)=\sin\!\left(\dfrac{5\pi}{6}\right).

Passo 6

Avaliar a função seno no ângulo reduzido e determinar o sinal:
  • \sin\!\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2} (é um ângulo notável no semicírculo superior, simétrico de \pi/6).
  • Como o argumento original é negativo, \sin\!\left(-\dfrac{1013\pi}{6}\right)=-\sin\!\left(\dfrac{1013\pi}{6}\right)=-\sin\!\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)=-\dfrac{1}{2}.

Resposta

-\tfrac{1}{2}

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