Efetue as operações indicadas abaixo:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá:
- Pede a parte imaginária de
, ou seja, calcular . - Informações dadas (as duas partes do número complexo):
-
. -
.
-
- Não há outras informações externas; a solução virá de manipular esses números complexos e usar potências e argumentos.
Passo 2
Converter cada número complexo para forma polar (módulo e argumento), porque potências ficam fáceis com a forma trigonométrica.
- Para
: - Módulo:
. - Argumento:
(ângulo no primeiro quadrante). - Logo
- Módulo:
- Para
: - Módulo:
. - Argumento:
. - Logo
- Módulo:
Passo 3
Aplicar a fórmula de De Moivre para elevar à potência.
-
-
- Note que
. Portanto
Passo 4
Calcular a diferença dos argumentos e simplificá-la:
Colocando em denominador comum
:
Logo o argumento é
e
Passo 5
Reduzir o ângulo módulo
para avaliar a parte imaginária (lembre:
tem período
). Escrevendo em unidades de
, um período corresponde a
incrementos de
.
- Encontrar
: logo . - Assim
- Portanto
Passo 6
Avaliar a função seno no ângulo reduzido e determinar o sinal:
-
(é um ângulo notável no semicírculo superior, simétrico de ). - Como o argumento original é negativo,