Efetue as operações indicadas e escreva, em cada caso, se o resultado é um número racional ou irracional.
raiz[7]3^2 cdot raiz[7]3^5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai trabalhar com radiciação e propriedades dos expoentes, que são parte da matéria de Álgebra. Nosso objetivo é calcular raiz[7]3^2 cdot raiz[7]3^5 e descobrir se o resultado é um número racional ou irracional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que raiz[7]a significa a raiz sétima de a. Quando temos uma raiz com o mesmo índice multiplicando outra, podemos simplificar usando a propriedade dos radicais que diz:
raiz[n]a cdot raiz[n]b = raiz[n]a cdot b
Aplicando isso aqui:
raiz[7]3^2 cdot raiz[7]3^5 = raiz[7]3^2 cdot 3^5

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Quando multiplicamos potências de mesma base, somamos os expoentes:
3^2 cdot 3^5 = 3^2+5 = 3^7
Então, nossa expressão fica:
raiz[7]3^7

Passo 4

A raiz sétima de 3^7 é simplesmente o próprio 3. Isso porque a raiz e o expoente são iguais e se cancelam:
raiz[7]3^7 = 3

Resposta

O resultado da operação é 3, que é um número racional.

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