Efetue as operações:
\quad 10010011_{2} \times 1101_{2}

Passo 1

O enunciado pede para multiplicar os números binários 10010011_{2} e 1101_{2}.
Informações dadas:
  • Multiplicando: 10010011_{2}.
  • Multiplicador: 1101_{2}.
    Objetivo: calcular o produto e escrever o resultado em base 2.

Passo 2

Como funciona a multiplicação em base 2 (regra prática que vamos usar):
  • Multiplicar por 0 0. Multiplicar por 1 dá o próprio número.
  • Para cada dígito do multiplicador, da direita para a esquerda, escreve-se o multiplicando multiplicado por esse dígito e deslocado (shift) para a esquerda conforme a posição do dígito (0 deslocamentos para o bit menos significativo, 1 deslocamento para o próximo, e assim por diante).
  • Depois soma-se todos os “partial products” em binário, usando a regra de adição binária com transporte (carry): 0+0=0, 0+1=1, 1+1=0 com carry 1, 1+1+1=1 com carry 1.
Vou mostrar cada etapa e explicar a adição binária enquanto avança.

Passo 3

Identifico os bits do multiplicador 1101_{2} (da direita para a esquerda):
  • bit de posição 0 (LSB): 1
  • bit de posição 1: 0
  • bit de posição 2: 1
  • bit de posição 3 (MSB): 1
Isso significa que teremos três partial products não nulos (posições 0, 2 e 3).

Passo 4

Partial product para o bit de posição 0 (multiplicador =1, sem shift):
\text{PP}_0 = 10010011_{2}
Explicando: multiplicando por 1 deixa o número igual.

Passo 5

Partial product para o bit de posição 1 (multiplicador =0, shift 1):
\text{PP}_1 = 0\\ \text{(tudo zero)}\\ \text{(após shift de 1)} = 00000000000_{2}\\ \text{(vamos usar comprimento total compatível)}óí
Explicando: multiplicar por 0 gera zeros; mesmo após deslocar, continua zero.

Passo 6

Partial product para o bit de posição 2 (multiplicador =1, shift 2):
  • Primeiro 10010011_{2} multiplicado por 1 é 10010011_{2}.
  • Deslocando 2 posições à esquerda (equivalente a acrescentar dois zeros à direita) obtemos:
\text{PP}_2 = 1001001100_{2}

Passo 7

Partial product para o bit de posição 3 (multiplicador =1, shift 3):
  • 10010011_{2} deslocado 3 posições à esquerda:
\text{PP}_3 = 10010011000_{2}

Passo 8

Agora alinhamos todos os partial products para somar. Vou escrever cada um com 11 bits (o resultado tem até 8+4-1=11 bits):
\text{PP}_3 = 1\,0\,0\,1\,0\,0\,1\,1\,0\,0\,0
\text{PP}_2 = 0\,1\,0\,0\,1\,0\,0\,1\,1\,0\,0
\text{PP}_1 = 0\,0\,0\,0\,0\,0\,0\,0\,0\,0\,0
\text{PP}_0 = 0\,0\,0\,1\,0\,0\,1\,0\,0\,1\,1
Cada sequência acima corresponde aos bits nas posições 10 (mais à esquerda) até 0 (mais à direita).

Passo 9

Vamos somar coluna a coluna (da direita para a esquerda), mostrando o carry em cada etapa.
Defino: para cada coluna k (começando em k=0 sendo LSB) calculo soma dos bits naquela coluna mais o carry entrando; escrevo o bit resultante e o carry para a próxima coluna.
Coluna k=0 (LSB): bits = 0+0+0+1=1. Resultado bit 0, carry 0. Resultado parcial (LSB): 1.
Coluna k=1: bits = 0+0+0+1=1. Resultado bit 1, carry 0.
Coluna k=2: bits = 0+1+0+0=1. Resultado bit 1, carry 0.
Coluna k=3: bits = 1+1+0+0=2. Em binário 2 é 10: resultado bit 0, carry 1.
Coluna k=4: bits = 1+0+0+1 mais carry 1 = 1+0+0+1+1=3. Em binário 3 é 11: resultado bit 1, carry 1.
Coluna k=5: bits = 0+0+0+0 mais carry 1 = 1. Resultado bit 1, carry 0.
Coluna k=6: bits = 0+0+0+0=0 mais carry 0 mas atenção: revisando as colunas, de PP3/PP2/PP0 os valores correspondentes: na prática obtemos 0+1+0+0=1. Resultado bit 1, carry 0.
Coluna k=7: bits = 1+0+0+1=2. Resultado bit 0, carry 1.
Coluna k=8: bits = 0+0+0+0 mais carry 1 = 1. Resultado bit 1, carry 0.
Coluna k=9: bits = 0+1+0+0=1. Resultado bit 1, carry 0.
Coluna k=10 (MSB): bits = 1+0+0+0=1. Resultado bit 1, carry 0.
Juntando os bits do MSB k=10 ao LSB k=0 obtemos:
1\;1\;1\;0\;1\;1\;1\;0\;1\;1\;1
Ou seja, o produto em binário é 11101110111_{2}.

Passo 10

Verificação rápida (cheia de confiança, mas útil): converto para decimal para checar.
  • 10010011_{2} = 1\cdot2^{7}+0\cdot2^{6}+0\cdot2^{5}+1\cdot2^{4}+0\cdot2^{3}+0\cdot2^{2}+1\cdot2^{1}+1\cdot2^{0}=128+16+2+1=147.
  • 1101_{2} = 1\cdot2^{3}+1\cdot2^{2}+0\cdot2^{1}+1\cdot2^{0}=8+4+1=13.
  • 147\times13=1911.
    Converto 1911 para binário e obtenho 11101110111_{2}, que coincide com o resultado acima. Boa! Confirmação feita.

Resposta

11101110111_{2}

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