Efetue as operações e simplifique:
x^2+6 x+872-2 x^2 cdot x^2-2 x-24x^2+8 x+16

Passo 1

O enunciado pede para efetuar o produto de frações algébricas e simplificar o resultado. O conteúdo é frações algébricas envolvendo fatoração de polinômios quadráticos e diferença de quadrados, e vamos precisar usar essas fatorações para cancelar fatores comuns.

Passo 2

Vamos fatorar cada polinômio:
Para o numerador do primeiro fator:
x^2 + 6x + 8 = (x + 2)(x + 4)
Para o denominador do primeiro fator (diferença de quadrados):
72 - 2x^2 = 2(36 - x^2) = 2(6 - x)(6 + x)
Para o numerador do segundo fator:
x^2 - 2x - 24 = (x - 6)(x + 4)
Para o denominador do segundo fator (quadrado perfeito):
x^2 + 8x + 16 = (x + 4)^2

Passo 3

Reescrevendo o produto com todos os fatores obtidos, temos:
$$
ac{(x+2)(x+4)}{2(6 - x)(6 + x)} ,\cdot,
ac{(x-6)(x+4)}{(x+4)^2}
$$

Passo 4

Agora cancelamos os fatores comuns. O fator (x+4)^2 no numerador e denominador se anula completamente, e também podemos usar (x-6)/(6 - x) = -1:
$$
ac{(x+2)\cancel{(x+4)}\cancel{(x+4)}}{2\cancel{(6 - x)}(6 + x)},(x-6)
= -\frac{x+2}{2(x+6)}
$$

Passo 5

Chegando à forma mais simples da expressão, com o sinal ajustado e sem fatores comuns remanescentes.

Resposta

-\frac{x+2}{2(x+6)}

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