Efetue os produtos dados:
\left(2-x^{2}\right)\left(3 x^{3}+6 x^{2}-x\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto entre os dois polinômios abaixo:
\left(2 - x^{2}\right)\left(3x^{3} + 6x^{2} - x\right).
Informações dadas:
  • O primeiro fator é \left(2 - x^{2}\right).
  • O segundo fator é \left(3x^{3} + 6x^{2} - x\right).
  • O objetivo é efetuar a multiplicação e apresentar o polinômio resultante.

Passo 2

Estratégia de cálculo (propriedade distributiva): multiplica-se cada termo do primeiro polinômio por todo o segundo polinômio e soma-se os resultados. Aqui é prático repartir assim:
\left(2 - x^{2}\right)\left(3x^{3} + 6x^{2} - x\right)=2\cdot\left(3x^{3} + 6x^{2} - x\right)-x^{2}\cdot\left(3x^{3} + 6x^{2} - x\right).
Isso evita fazer todas as multiplicações isoladas e organiza o trabalho.

Passo 3

Multiplicando o primeiro trecho 2\cdot\left(3x^{3} + 6x^{2} - x\right). Multiplica-se o 2 por cada termo:
2\cdot 3x^{3}=6x^{3},\qquad 2\cdot 6x^{2}=12x^{2},\qquad 2\cdot(-x)=-2x.
Portanto
2\cdot\left(3x^{3} + 6x^{2} - x\right)=6x^{3}+12x^{2}-2x.

Passo 4

Agora o segundo trecho -x^{2}\cdot\left(3x^{3} + 6x^{2} - x\right). Regras usadas:
  • Ao multiplicar potências com a mesma base, soma-se os expoentes: x^{a}\cdot x^{b}=x^{a+b}.
  • O sinal acompanha a multiplicação normal dos coeficientes.
    Fazendo cada multiplicação:
-x^{2}\cdot 3x^{3} = -3x^{5},\qquad -x^{2}\cdot 6x^{2}=-6x^{4},\qquad -x^{2}\cdot(-x)=+x^{3}.
Portanto
-x^{2}\cdot\left(3x^{3} + 6x^{2} - x\right)=-3x^{5}-6x^{4}+x^{3}.

Passo 5

Somar os dois resultados obtidos (combinar termos semelhantes). Reunindo:
-3x^{5}-6x^{4}+x^{3}+6x^{3}+12x^{2}-2x.
Agora combinar os termos que têm a mesma potência de x:
x^{3}+6x^{3}=7x^{3}.
Assim o polinômio final, ordenado por potências decrescentes, é:
-3x^{5}-6x^{4}+7x^{3}+12x^{2}-2x.

Passo 6

Verificação rápida (checagem): o grau do produto deve ser a soma dos graus dos fatores, ou seja 2+3=5; o termo de maior grau deve ter coeficiente igual ao produto dos coeficientes principais: (-1)\cdot 3=-3. Isso confere com o resultado -3x^{5}, então a multiplicação está consistente.

Resposta

-3x^{5}-6x^{4}+7x^{3}+12x^{2}-2x

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