Efetue os produtos dados:
(3 x+5)\left(3 x^{2}-4 x+2\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto entre dois polinômios:
(3x+5)\,(3x^{2}-4x+2).
Informações dadas:
  • Primeiro polinômio: (3x+5).
  • Segundo polinômio: (3x^{2}-4x+2).
    O que se pede: efetuar a multiplicação e escrever o polinômio resultante simplificado (combinar termos semelhantes).

Passo 2

Ideia de cálculo (regra usada): ao multiplicar polinômios aplicamos a propriedade distributiva. Isso significa multiplicar cada termo do primeiro polinômio por cada termo do segundo e somar os resultados. Se chamarmos A(x)=3x+5 e B(x)=3x^{2}-4x+2, então
A(x)B(x)=(3x)\cdot B(x) + 5\cdot B(x).
Explicação das potências e coeficientes: ao multiplicar potências de x somam-se os expoentes, por exemplo x\cdot x^{2}=x^{3}. Os coeficientes (números) multiplicam-se normalmente, por exemplo 3\cdot 3=9.

Passo 3

Multiplicar o termo 3x por cada termo de 3x^{2}-4x+2:
3x\cdot 3x^{2} = 9x^{3},
3x\cdot(-4x) = -12x^{2},
3x\cdot 2 = 6x.
Cada linha usa: coeficiente = produto dos números; potência = soma dos expoentes de x.

Passo 4

Multiplicar o termo 5 por cada termo de 3x^{2}-4x+2:
5\cdot 3x^{2} = 15x^{2},
5\cdot(-4x) = -20x,
5\cdot 2 = 10.

Passo 5

Somar todos os termos obtidos (antes de simplificar):
9x^{3} + (-12x^{2}) + 6x + 15x^{2} + (-20x) + 10.
Agora combinar os termos semelhantes:
  • Termos em x^{3}: 9x^{3} (não há outro termo em x^{3}).
  • Termos em x^{2}: -12x^{2} + 15x^{2} = 3x^{2}.
  • Termos em x: 6x - 20x = -14x.
  • Termo constante: 10.
Assim o polinômio simplificado, ordenado por grau decrescente, é
9x^{3} + 3x^{2} - 14x + 10.

Passo 6

Cheque rápido para confiar no resultado:
  • Grau do produto: 1 + 2 = 3 (corresponde ao x^{3} presente).
  • Coeficiente líder: 3\cdot 3 = 9 (corresponde ao 9x^{3}).
  • Termo constante: 5\cdot 2 = 10 (confere com o constante final).
    Bom trabalho — essa é a rotina padrão para multiplicar polinômios na prova: distribuir, multiplicar coeficientes, somar expoentes e combinar termos semelhantes.

Resposta

9x^{3}+3x^{2}-14x+10

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