Efetue os produtos dados a seguir:
\left(\frac{3 x}{2}-\frac{1}{3}\right)\left(\frac{3 x}{2}+\frac{1}{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede para efetuar (expandir e simplificar) o produto das duas expressões:
\left(\frac{3x}{2}-\frac{1}{3}\right)\left(\frac{3x}{2}+\frac{1}{3}\right).
Informações dadas:
  • O primeiro fator é \dfrac{3x}{2}-\dfrac{1}{3}.
  • O segundo fator é \dfrac{3x}{2}+\dfrac{1}{3}.
    Objetivo: calcular o produto e escrever o resultado de forma simplificada.

Passo 2

Uma identidade muito útil para produtos deste tipo (um binómio menos e mais) é a seguinte. Para quaisquer símbolos a e b vale:
(a-b)(a+b)=a^2-b^2.
Explicação da identidade (você pode usar isso na prova sem decorar demais, basta saber multiplicar):
(a-b)(a+b)=a(a+b)-b(a+b)=a^2+ab-ab-b^2=a^2-b^2.
Aqui a propriedade usada é a distributiva: p(q+r)=pq+pr. As parcelas +ab e -ab se cancelam.

Passo 3

Identificamos na expressão os termos a e b:
a=\frac{3x}{2},\qquad b=\frac{1}{3}.
Peguei esses valores direto dos fatores do enunciado.

Passo 4

Aplicando a identidade (a-b)(a+b)=a^2-b^2 ao nosso caso, precisamos calcular a^2 e b^2.
Calcule a^2:
\left(\frac{3x}{2}\right)^2=\frac{(3x)^2}{2^2}=\frac{9x^2}{4}.
Comentário: ao elevar uma fração ao quadrado, eleva-se numerador e denominador separadamente.

Passo 5

Calcule b^2:
\left(\frac{1}{3}\right)^2=\frac{1}{9}.

Passo 6

Agora subtraímos b^2 de a^2:
\frac{9x^2}{4}-\frac{1}{9}.
Para somar ou subtrair frações é preciso ter denominador comum. O menor múltiplo comum de 4 e 9 é 36. Convertendo cada fração para denominador 36:
\frac{9x^2}{4}=\frac{9x^2\cdot 9}{4\cdot 9}=\frac{81x^2}{36}, \qquad \frac{1}{9}=\frac{1\cdot 4}{9\cdot 4}=\frac{4}{36}.
Subtraindo:
\frac{81x^2}{36}-\frac{4}{36}=\frac{81x^2-4}{36}.

Passo 7

Opcionalmente, pode-se notar que o numerador é uma diferença de quadrados:
81x^2-4=(9x)^2-2^2=(9x-2)(9x+2),
mas não há fator comum com o denominador 36, portanto a forma \dfrac{81x^2-4}{36} já está simplificada.

Resposta

\displaystyle \frac{81x^{2}-4}{36}

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