Calcule os produtos notáveis a seguir:
\left(\frac{x}{2}+2\right)^{2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o quadrado do binómio dado. Informação fornecida:
  • Expressão a ser expandida: \left(\dfrac{x}{2}+2\right)^{2}.
    O que se pede: obter a forma expandida (desenvolver o produto notável).

Passo 2

Lembrando e demonstrando a fórmula do quadrado da soma: para quaisquer números \,a e \,b,
(a+b)^2 = (a+b)(a+b).
Desenvolvendo por distributividade (ou método FOIL: First, Outer, Inner, Last):
(a+b)(a+b)=a\cdot a + a\cdot b + b\cdot a + b\cdot b = a^2 + ab + ba + b^2.
Como ab=ba, obtemos a forma conhecida
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.
Aqui expliquei cada passo: multiplicar os dois binómios termo a termo e somar; a propriedade comutativa faz ab e ba serem iguais.

Passo 3

Identificar, na expressão \left(\dfrac{x}{2}+2\right)^{2}, os termos a e b da fórmula:
  • a = \dfrac{x}{2}.
  • b = 2.

Passo 4

Calcular a^2:
a^2 = \left(\dfrac{x}{2}\right)^2 = \dfrac{x^2}{4}.
Explicação: elevar uma fração ao quadrado eleva numerador e denominador ao quadrado.

Passo 5

Calcular 2ab:
2ab = 2\cdot\left(\dfrac{x}{2}\right)\cdot 2.
Fazendo as operações em ordem conveniente, primeiro \left(\dfrac{x}{2}\right)\cdot 2 = x (pois multiplicar por 2 cancela o denominador 2), então
2ab = 2\cdot x = 2x.
Alternativamente, podia-se rearranjar 2\cdot\left(\dfrac{x}{2}\right)\cdot 2 = 4\cdot\dfrac{x}{2} = 2x; resultado igual.

Passo 6

Calcular b^2:
b^2 = 2^2 = 4.

Passo 7

Agora temos os três termos da fórmula: a^2 = \dfrac{x^2}{4}, 2ab = 2x, b^2 = 4. Somando os termos semelhantes (o procedimento de juntar os termos resultantes da expansão) obtemos a expressão desenvolvida.

Resposta

\dfrac{x^{2}}{4}+2x+4

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