Calcule os produtos notáveis a seguir:
(\sqrt{2} x+1)^{2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular/expandir o produto notável (\sqrt{2} x+1)^{2}.
Informações dadas:
  • A expressão a ser desenvolvida é (\sqrt{2} x+1)^{2}.

Passo 2

A fórmula padrão que vamos usar é a do quadrado da soma de dois termos:
(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.
Explicando: se tens dois termos a e b, elevar a soma ao quadrado é o mesmo que somar o quadrado do primeiro, duas vezes o produto entre eles e o quadrado do segundo. É uma fórmula muito útil para evitar multiplicações desnecessárias.

Passo 3

Identifico os termos a e b na expressão:
a=\sqrt{2}\,x,\qquad b=1.

Passo 4

Calculo a^{2}. Como a é um produto, ao quadrado cada fator é elevado ao quadrado:
a^{2}=(\sqrt{2}\,x)^{2}=(\sqrt{2})^{2}\,x^{2}=2\,x^{2}.
Aqui usei que (\sqrt{2})^{2}=2 e que (xy)^{2}=x^{2}y^{2}.

Passo 5

Calculo 2ab:
2ab=2\cdot(\sqrt{2}\,x)\cdot 1=2\sqrt{2}\,x.
Multiplicação simples: multiplicar por 1 não muda o valor.

Passo 6

Calculo b^{2}:
b^{2}=1^{2}=1.

Passo 7

Somando os três termos conforme a fórmula:
(\sqrt{2}\,x+1)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}=2\,x^{2}+2\sqrt{2}\,x+1.
Organizei os termos em ordem decrescente do grau (primeiro x^{2}, depois x, depois constante).

Passo 8

Verificação rápida por multiplicação direta (FOIL):
(\sqrt{2}\,x+1)(\sqrt{2}\,x+1)=(\sqrt{2}\,x)(\sqrt{2}\,x)+(\sqrt{2}\,x)\cdot 1+1\cdot(\sqrt{2}\,x)+1\cdot 1
=2x^{2}+\sqrt{2}\,x+\sqrt{2}\,x+1=2x^{2}+2\sqrt{2}\,x+1,
o mesmo resultado, ok!

Resposta

2x^{2}+2\sqrt{2}\,x+1

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