A eficiência de uma rede de pesca é modelada por E(v, d)=\frac{v^{2}}{d^{3}}, onde v= velocidade da correnteza ( \mathrm{m} / \mathrm{s} ) e d= profundidade ( m ):
(a) Use diferenciais para estimar a variação de eficiência se v aumenta 5 \% e d diminui 3 \%
(b) Encontre a direção de máxima eficiência no ponto \left(v_{0}, d_{0}\right)
Passo 1
O enunciado dá a eficiência de uma rede por E(v,d)=\dfrac{v^{2}}{d^{3}}, onde v é a velocidade da correnteza (m/s) e d é a profundidade (m). Há duas perguntas:
(a) Estimar, por diferenciais, a variação da eficiência quando v aumenta 5\% e d diminui 3\%.
(b) Encontrar a direção de máxima eficiência no ponto \left(v_{0},d_{0}\right).
Informações relevantes fornecidas:
A função: \displaystyle E(v,d)=\frac{v^{2}}{d^{3}}.
Variações percentuais: v aumenta 5\% e d diminui 3\%. Em termos diferenciais isso significa que \Delta v é cerca de 0,05\,v_{0} e \Delta d é cerca de -0,03\,d_{0}.
Pedem uma estimativa via diferenciais (linearização) e a direção de máximo crescimento (gradiente/direção).
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida e prática):
Para uma função de duas variáveis E(v,d) a variação aproximada (diferencial total) quando v muda de v_{0} para v_{0}+\Delta v e d muda de d_{0} para d_{0}+\Delta d é
\mathrm{d}E \approx E_{v}(v_{0},d_{0})\,\Delta v + E_{d}(v_{0},d_{0})\,\Delta d,
onde E_{v} e E_{d} são as derivadas parciais de E em relação a v e d.
Intuição: E_{v} diz quanto E muda se só v variar; E_{d} diz quanto E muda se só d variar. A expressão soma os efeitos lineares combinados.
Então vamos calcular as derivadas parciais de \displaystyle E(v,d)=\frac{v^{2}}{d^{3}}.
Interpretação prática e forma percentual: como E(v_{0},d_{0})=\dfrac{v_{0}^{2}}{d_{0}^{3}}, temos
\frac{\mathrm{d}E}{E}\approx 0,19,
ou seja, a eficiência aumenta aproximadamente 19\%. (Aqui usei a aproximação linear — boa para pequenas variações como 5\% e -3\%.)
Passo 5
Agora a parte (b): direção de máxima eficiência (aula curta sobre gradiente e direção):
Para funções de várias variáveis, o gradiente \nabla E(v,d) aponta na direção de máximo crescimento de E. O vetor gradiente é formado pelas derivadas parciais:
\nabla E(v,d)=\left(E_{v}(v,d),E_{d}(v,d)\right).
A direção unitária de máximo aumento em \left(v_{0},d_{0}\right) é o vetor unitário na direção de \nabla E(v_{0},d_{0}), ou seja
Interpretação: o primeiro componente positivo indica que aumentar v ajuda, e o segundo componente negativo indica que diminuir d (componente negativa no eixo d) também ajuda a aumentar E. O vetor (2d_{0},-3v_{0}) dá a direção (antes de normalizar).
Resposta
(a) A eficiência aumenta aproximadamente 19\%. Em termos de diferencial: \displaystyle \mathrm{d}E\approx 0,19\cdot\frac{v_{0}^{2}}{d_{0}^{3}}.
(b) A direção de máximo aumento em \left(v_{0},d_{0}\right) é a do vetor \displaystyle (2d_{0},-3v_{0}); o versor (vetor unitário) correspondente é \displaystyle \frac{1}{\sqrt{4d_{0}^{2}+9v_{0}^{2}}}\,(2d_{0},-3v_{0}).