A eficiência de uma rede de pesca é modelada por E(v, d)=\frac{v^{2}}{d^{3}}, onde v= velocidade da correnteza ( \mathrm{m} / \mathrm{s} ) e d= profundidade ( m ):
(a) Use diferenciais para estimar a variação de eficiência se v aumenta 5 \% e d diminui 3 \%
(b) Encontre a direção de máxima eficiência no ponto \left(v_{0}, d_{0}\right)

Passo 1

O enunciado dá a eficiência de uma rede por E(v,d)=\dfrac{v^{2}}{d^{3}}, onde v é a velocidade da correnteza (m/s) e d é a profundidade (m). Há duas perguntas:
  1. (a) Estimar, por diferenciais, a variação da eficiência quando v aumenta 5\% e d diminui 3\%.
  2. (b) Encontrar a direção de máxima eficiência no ponto \left(v_{0},d_{0}\right).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função: \displaystyle E(v,d)=\frac{v^{2}}{d^{3}}.
  • Variações percentuais: v aumenta 5\% e d diminui 3\%. Em termos diferenciais isso significa que \Delta v é cerca de 0,05\,v_{0} e \Delta d é cerca de -0,03\,d_{0}.
  • Pedem uma estimativa via diferenciais (linearização) e a direção de máximo crescimento (gradiente/direção).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida e prática):
  • Para uma função de duas variáveis E(v,d) a variação aproximada (diferencial total) quando v muda de v_{0} para v_{0}+\Delta v e d muda de d_{0} para d_{0}+\Delta d é
\mathrm{d}E \approx E_{v}(v_{0},d_{0})\,\Delta v + E_{d}(v_{0},d_{0})\,\Delta d,
onde E_{v} e E_{d} são as derivadas parciais de E em relação a v e d.
  • Intuição: E_{v} diz quanto E muda se só v variar; E_{d} diz quanto E muda se só d variar. A expressão soma os efeitos lineares combinados.
Então vamos calcular as derivadas parciais de \displaystyle E(v,d)=\frac{v^{2}}{d^{3}}.

Passo 3

Cálculo das derivadas parciais (não pule etapas):
  • Derivada parcial em relação a v:
E_{v}(v,d)=\frac{\partial}{\partial v}\left(\frac{v^{2}}{d^{3}}\right)=\frac{2v}{d^{3}}.
Explicação: tratamos d como constante e derivamos v^{2}, cujo derivado é 2v, então dividimos por d^{3}.
  • Derivada parcial em relação a d:
E_{d}(v,d)=\frac{\partial}{\partial d}\left(\frac{v^{2}}{d^{3}}\right)=v^{2}\cdot\frac{\partial}{\partial d}\left(d^{-3}\right)=v^{2}\cdot(-3)d^{-4}=-\frac{3v^{2}}{d^{4}}.
Explicação: usamos a regra da potência para d^{-3}.
Agora escrevemos o diferencial em \left(v_{0},d_{0}\right):
\mathrm{d}E \approx \frac{2v_{0}}{d_{0}^{3}}\,\Delta v \;-\; \frac{3v_{0}^{2}}{d_{0}^{4}}\,\Delta d.

Passo 4

Aplicar as variações percentuais (transformar porcentagem em \Delta v e \Delta d):
  • Um aumento de 5\% em v significa \Delta v\approx 0,05\,v_{0}.
  • Uma diminuição de 3\% em d significa \Delta d\approx -0,03\,d_{0}.
Substituindo em \mathrm{d}E:
\mathrm{d}E \approx \frac{2v_{0}}{d_{0}^{3}}\cdot(0,05\,v_{0}) \;-\; \frac{3v_{0}^{2}}{d_{0}^{4}}\cdot(-0,03\,d_{0}).
Calcule termo a termo (mostrando contas):
  • Primeiro termo:
\frac{2v_{0}}{d_{0}^{3}}\cdot(0,05\,v_{0}) = 2\cdot 0,05\cdot\frac{v_{0}^{2}}{d_{0}^{3}} = 0,10\cdot\frac{v_{0}^{2}}{d_{0}^{3}}.
  • Segundo termo:
-\frac{3v_{0}^{2}}{d_{0}^{4}}\cdot(-0,03\,d_{0}) = +3\cdot 0,03\cdot\frac{v_{0}^{2}}{d_{0}^{3}} = 0,09\cdot\frac{v_{0}^{2}}{d_{0}^{3}}.
Somando:
\mathrm{d}E \approx (0,10+0,09)\cdot\frac{v_{0}^{2}}{d_{0}^{3}} = 0,19\cdot\frac{v_{0}^{2}}{d_{0}^{3}}.
Interpretação prática e forma percentual: como E(v_{0},d_{0})=\dfrac{v_{0}^{2}}{d_{0}^{3}}, temos
\frac{\mathrm{d}E}{E}\approx 0,19,
ou seja, a eficiência aumenta aproximadamente 19\%. (Aqui usei a aproximação linear — boa para pequenas variações como 5\% e -3\%.)

Passo 5

Agora a parte (b): direção de máxima eficiência (aula curta sobre gradiente e direção):
  • Para funções de várias variáveis, o gradiente \nabla E(v,d) aponta na direção de máximo crescimento de E. O vetor gradiente é formado pelas derivadas parciais:
\nabla E(v,d)=\left(E_{v}(v,d),E_{d}(v,d)\right).
  • A direção unitária de máximo aumento em \left(v_{0},d_{0}\right) é o vetor unitário na direção de \nabla E(v_{0},d_{0}), ou seja
\mathbf{u}=\frac{\nabla E(v_{0},d_{0})}{\|\nabla E(v_{0},d_{0})\|}.
Cálculo concreto:
  • Já temos as parciais, então
\nabla E(v_{0},d_{0})=\left(\frac{2v_{0}}{d_{0}^{3}},\;-\frac{3v_{0}^{2}}{d_{0}^{4}}\right).
  • Norma do gradiente:
\|\nabla E(v_{0},d_{0})\|=\sqrt{\left(\frac{2v_{0}}{d_{0}^{3}}\right)^{2}+\left(-\frac{3v_{0}^{2}}{d_{0}^{4}}\right)^{2}} =\sqrt{\frac{4v_{0}^{2}}{d_{0}^{6}}+\frac{9v_{0}^{4}}{d_{0}^{8}}}.
Fatorando para simplificar:
\|\nabla E(v_{0},d_{0})\|=\frac{v_{0}}{d_{0}^{4}}\sqrt{4d_{0}^{2}+9v_{0}^{2}}.
  • Portanto a direção unitária de máximo aumento é (simplificando a divisão pelo fator comum):
\mathbf{u}=\frac{1}{\sqrt{4d_{0}^{2}+9v_{0}^{2}}}\,(2d_{0},\,-3v_{0}).
Interpretação: o primeiro componente positivo indica que aumentar v ajuda, e o segundo componente negativo indica que diminuir d (componente negativa no eixo d) também ajuda a aumentar E. O vetor (2d_{0},-3v_{0}) dá a direção (antes de normalizar).

Resposta

(a) A eficiência aumenta aproximadamente 19\%. Em termos de diferencial: \displaystyle \mathrm{d}E\approx 0,19\cdot\frac{v_{0}^{2}}{d_{0}^{3}}.
(b) A direção de máximo aumento em \left(v_{0},d_{0}\right) é a do vetor \displaystyle (2d_{0},-3v_{0}); o versor (vetor unitário) correspondente é \displaystyle \frac{1}{\sqrt{4d_{0}^{2}+9v_{0}^{2}}}\,(2d_{0},-3v_{0}).

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