(EFOA-MG) Por defeito de fabricação, um termômetro graduado na escala Fahrenheit indica para o ponto de gelo 34^{\circ} \mathrm{F} e para o ponto de vapor 209^{\circ} \mathrm{F}. Neste termômetro a única temperatura corretamente medida corresponde a:
a) 40^{\circ} \mathrm{C}
b) 87,5^{\circ} \mathrm{C}
c) 80^{\circ} \mathrm{C}
d) 57^{\circ} \mathrm{C}

Passo 1

O enunciado dá duas leituras do termômetro (peguei estes números do enunciado):
  • Para o ponto de gelo (temperatura verdadeira 0^\circ\mathrm{C}, que corresponde a 32^\circ\mathrm{F}) o termômetro indica 34^\circ\mathrm{F}.
  • Para o ponto de vapor (temperatura verdadeira 100^\circ\mathrm{C}, que corresponde a 212^\circ\mathrm{F}) o termômetro indica 209^\circ\mathrm{F}.
O que o problema pede:
  • Encontrar a única temperatura que esse termômetro mede corretamente (ou seja, a temperatura em que a indicação do termômetro é exatamente a temperatura verdadeira), e apresentar essa temperatura em graus Celsius entre as alternativas dadas.

Passo 2

Modelagem linear (por que usar linear?): termômetros graduados variam de forma linear com a temperatura real (as divisões são uniformes). Mesmo com defeito, a indicação costuma ser uma transformação afim (linear com deslocamento) da temperatura verdadeira. Então representamos a relação entre a temperatura verdadeira em Fahrenheit, F, e a indicação do termômetro, R, por
R = aF + b,
onde a e b são constantes desconhecidas (explicando: a é a escala/encaixe de inclinação e b é o deslocamento/viés).

Passo 3

Usar os dois pontos de calibração fornecidos para obter duas equações:
  • Para F=32^\circ\mathrm{F} (gelo) tem-se R=34^\circ\mathrm{F}, logo
34 = a\cdot 32 + b.
  • Para F=212^\circ\mathrm{F} (vapor) tem-se R=209^\circ\mathrm{F}, logo
209 = a\cdot 212 + b.
Subtraindo a primeira equação da segunda para eliminar b:
209 - 34 = a(212 - 32).
Calcule passo a passo:
209-34 = 175,\qquad 212-32 = 180,
logo
175 = 180a \quad\Rightarrow\quad a = \frac{175}{180} = \frac{35}{36}.

Passo 4

Agora ache b usando uma das equações (uso a primeira):
34 = a\cdot 32 + b \quad\Rightarrow\quad b = 34 - a\cdot 32.
Substituindo a=\dfrac{35}{36}:
a\cdot 32 = \frac{35}{36}\cdot 32 = \frac{1120}{36} = \frac{280}{9}.
Então
b = 34 - \frac{280}{9} = \frac{306}{9} - \frac{280}{9} = \frac{26}{9}.

Passo 5

Definição da temperatura corretamente medida: é o ponto fixo em que a indicação é igual à temperatura verdadeira, ou seja R=F. Substituindo o modelo:
aF + b = F.
Isolando F:
F(1-a) = b \quad\Rightarrow\quad F = \frac{b}{1-a}.
Calcule 1-a e F com as frações encontradas:
1-a = 1 - \frac{35}{36} = \frac{1}{36},
F = \frac{b}{1-a} = \frac{\tfrac{26}{9}}{\tfrac{1}{36}} = \frac{26}{9}\cdot 36 = 4\cdot 26 = 104.
Portanto a temperatura verdadeira em Fahrenheit que é medida corretamente é 104^\circ\mathrm{F}.

Passo 6

Converter 104^\circ\mathrm{F} para graus Celsius usando a fórmula de conversão (explicando a fórmula: a escala Celsius é obtida subtraindo 32 e multiplicando por \tfrac{5}{9}):
C = (F-32)\cdot \frac{5}{9}.
Substituindo F=104:
C = (104-32)\cdot \frac{5}{9} = 72\cdot \frac{5}{9} = \frac{360}{9} = 40.
Logo a temperatura corretamente medida é 40^\circ\mathrm{C}.

Resposta

a) 40^\circ\mathrm{C}

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