Ein cada caso, use a mudança de variáveis indicada para calcular a integral dupla dada. \iint_{R} y \operatorname{sen}(x y) d y d x, x=\frac{u}{v}, y=v, R é a região entre os gráficos de x y=1, x y=4, y=1, y=4.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} y\operatorname{sen}(xy)\,dy\,dx
usando a mudança de variáveis indicada
x=\frac{u}{v},\qquad y=v.
As informações relevantes que o enunciado dá são:
A transformação entre variáveis é x=\dfrac{u}{v} e y=v.
A região R é a região do plano (x,y) limitada pelas curvas xy=1, xy=4, y=1 e y=4.
A integranda é y\operatorname{sen}(xy).
Não há outras restrições explícitas; vamos usar a mudança indicada para passar a integral para as variáveis u,v.
Passo 2
Lembrete (passo-a-passo didático) do que significa fazer mudança de variáveis numa integral dupla. Se fizermos a transformação
(x,y)=T(u,v)=(x(u,v),y(u,v)),
então a integral sobre R passa para uma integral sobre a região S em (u,v) pela fórmula
Como na região dada temos y=v variando entre 1 e 4, temos v>0 lá, então \left|\dfrac{1}{v}\right|=\dfrac{1}{v}. Portanto o fator de ajuste de área é \dfrac{1}{v}.]
Passo 4
Determinar a região S em coordenadas (u,v) correspondente a R. Observe que, pela transformação,
u = ?\quad\text{(expressão em \(x,y\))}.ã
Como x=\dfrac{u}{v} e y=v, multiplicando x por y obtemos
xy = \frac{u}{v}\cdot v = u.
Logo u=xy. As curvas xy=1 e xy=4 correspondem a u=1 e u=4. As curvas y=1 e y=4 correspondem a v=1 e v=4 (porque v=y). Portanto a região S é o retângulo
1\le u\le 4,\qquad 1\le v\le 4.
Passo 5
Transformar a integranda. Temos y=v e xy=u. Assim
y\operatorname{sen}(xy) = v\operatorname{sen}(u).
Multiplicando pelo jacobiano \dfrac{1}{v} obtemos o integrando em (u,v):