Ein cada caso, use a mudança de variáveis indicada para calcular a integral dupla dada.
\iint_{R} y \operatorname{sen}(x y) d y d x, x=\frac{u}{v}, y=v, R é a região entre os gráficos de x y=1, x y=4, y=1, y=4.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} y\operatorname{sen}(xy)\,dy\,dx
usando a mudança de variáveis indicada
x=\frac{u}{v},\qquad y=v.
As informações relevantes que o enunciado dá são:
  • A transformação entre variáveis é x=\dfrac{u}{v} e y=v.
  • A região R é a região do plano (x,y) limitada pelas curvas xy=1, xy=4, y=1 e y=4.
  • A integranda é y\operatorname{sen}(xy).
  • Não há outras restrições explícitas; vamos usar a mudança indicada para passar a integral para as variáveis u,v.

Passo 2

Lembrete (passo-a-passo didático) do que significa fazer mudança de variáveis numa integral dupla. Se fizermos a transformação
(x,y)=T(u,v)=(x(u,v),y(u,v)),
então a integral sobre R passa para uma integral sobre a região S em (u,v) pela fórmula
\iint_{R} f(x,y)\,dx\,dy = \iint_{S} f\big(x(u,v),y(u,v)\big)\,\left|\det\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|\,du\,dv.
Aqui \displaystyle \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} é a matriz jacobiana cujos elementos são as derivadas parciais:
\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}= \begin{pmatrix} \dfrac{\partial x}{\partial u} & \dfrac{\partial x}{\partial v}\\[6pt] \dfrac{\partial y}{\partial u} & \dfrac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix},
e \det dessa matriz dá a taxa de distorção de área causada pela transformação. Vou calcular essa matriz e seu determinante para a transformação dada.]

Passo 3

Calcular as derivadas parciais para x=\dfrac{u}{v} e y=v:
\dfrac{\partial x}{\partial u} = \dfrac{1}{v},\qquad \dfrac{\partial x}{\partial v} = -\dfrac{u}{v^{2}},
\dfrac{\partial y}{\partial u} = 0,\qquad \dfrac{\partial y}{\partial v} = 1.
A matriz jacobiana é
\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}= \begin{pmatrix} \dfrac{1}{v} & -\dfrac{u}{v^{2}}\\[6pt] 0 & 1 \end{pmatrix}.
O determinante é
\det\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \frac{1}{v}\cdot 1 - \left(-\frac{u}{v^{2}}\right)\cdot 0 = \frac{1}{v}.
Como na região dada temos y=v variando entre 1 e 4, temos v>0 lá, então \left|\dfrac{1}{v}\right|=\dfrac{1}{v}. Portanto o fator de ajuste de área é \dfrac{1}{v}.]

Passo 4

Determinar a região S em coordenadas (u,v) correspondente a R. Observe que, pela transformação,
u = ?\quad\text{(expressão em \(x,y\))}.ã
Como x=\dfrac{u}{v} e y=v, multiplicando x por y obtemos
xy = \frac{u}{v}\cdot v = u.
Logo u=xy. As curvas xy=1 e xy=4 correspondem a u=1 e u=4. As curvas y=1 e y=4 correspondem a v=1 e v=4 (porque v=y). Portanto a região S é o retângulo
1\le u\le 4,\qquad 1\le v\le 4.

Passo 5

Transformar a integranda. Temos y=v e xy=u. Assim
y\operatorname{sen}(xy) = v\operatorname{sen}(u).
Multiplicando pelo jacobiano \dfrac{1}{v} obtemos o integrando em (u,v):
v\operatorname{sen}(u)\cdot\frac{1}{v} = \operatorname{sen}(u).
Muito bacana: o fator v cancela com o jacobiano, e sobra apenas \operatorname{sen}(u), que depende só de u.

Passo 6

Escrever a integral transformada e calcular. A integral original vira
\iint_{R} y\operatorname{sen}(xy)\,dy\,dx = \iint_{S} \operatorname{sen}(u)\,du\,dv,
com S=\{(u,v)\mid 1\le u\le 4,\;1\le v\le 4\}. Como o integrando \operatorname{sen}(u) não depende de v, podemos separar as integrais:
\iint_{S} \operatorname{sen}(u)\,du\,dv = \left(\int_{v=1}^{4} dv\right)\left(\int_{u=1}^{4} \operatorname{sen}(u)\,du\right).
Calcule cada uma: \displaystyle \int_{v=1}^{4} dv = 4-1 = 3. Para a outra,
\int_{u=1}^{4} \operatorname{sen}(u)\,du = \bigl[-\cos(u)\bigr]_{1}^{4} = -\cos(4) -\bigl(-\cos(1)\bigr) = \cos(1)-\cos(4).
Multiplicando os resultados:
3\bigl(\cos(1)-\cos(4)\bigr).

Resposta

3\bigl(\cos(1)-\cos(4)\bigr)

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