Ein uma campanha de monitoramento ambiental, foram coletadhs 20 amostras de água de diferentes pontos de um rio para verificar a presença de coliformes fecais. Sabe-se que, para cada amostra. a probabilidade de contaminaçio é de 30 \%, independentemente das demnis.
a) Modele a variável aleatória X, número de amostras contaminadas, indicando sua distribulçio de probabilidade;
b) Qual é a probabilidade de mais de uma amostra apresentar contaminaçio?
c) Qual é o número esperado de amostras contaminadas.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas.
  • Informações dadas:
    • Foram coletadas 20 amostras independentes.
    • Para cada amostra, a probabilidade de estar contaminada é 30\%, ou seja, p=0,3.
    • Independência entre as amostras (o resultado de uma não afeta o de outra).
  • Perguntas do enunciado:
    1. (a) Modelar a variável aleatória X, número de amostras contaminadas, indicando sua distribuição de probabilidade.
    2. (b) Calcular a probabilidade de mais de uma amostra apresentar contaminação, isto é P(X>1).
    3. (c) Calcular o número esperado de amostras contaminadas, isto é E[X].

Passo 2

Por que tipo de modelo usar (explicação didática e escolha do método).
  • Temos um experimento repetido n vezes (aqui n=20), em cada repetição há apenas dois resultados possíveis: “contaminada” ou “não contaminada”.
  • A probabilidade de sucesso (contaminação) em cada ensaio é a mesma e igual a p=0,3.
  • Os ensaios são independentes.
Essas três condições (n ensaios, probabilidade fixa p, ensaios independentes, cada ensaio com dois resultados) definem o modelo conhecido como distribuição binomial. Portanto vamos modelar X como uma variável aleatória binomial. Vou agora apresentar a fórmula dessa distribuição e explicar cada termo.

Passo 3

Definição e fórmula da distribuição binomial (aula curta).
  • A variável aleatória X que conta o número de sucessos em n ensaios independentes com probabilidade p de sucesso em cada ensaio tem distribuição binomial.
  • Notação e parâmetros: X \sim \mathrm{Binomial}(n,p)onde n é o número de ensaios e p é a probabilidade de sucesso em cada ensaio.
  • Função massa de probabilidade (PMF): para k=0,1,\dots,n, P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k}.
    • Aqui \binom{n}{k} (lê-se “n escolhe k”) é o número de maneiras de escolher quais k ensaios deram sucesso entre os n.
    • p^{k} é a probabilidade de obter esses k sucessos.
    • (1-p)^{n-k} é a probabilidade dos n-k fracassos nas outras ensaios.
  • Para o nosso caso, n=20 e p=0,3. Assim: X \sim \mathrm{Binomial}(20,0,3).

Passo 4

Cálculo de P(X>1) com uso de complementar (estratégia prática e motivo).
  • Calcular diretamente P(X>1)=\sum_{k=2}^{20}P(X=k) é trabalhoso. Uma estratégia muito prática é usar o complementar: P(X>1)=1-P(X\le 1)=1-\bigl(P(X=0)+P(X=1)\bigr).
  • Vamos calcular P(X=0) e P(X=1) usando a PMF.

Passo 5

Cálculo de P(X=0) e P(X=1) passo a passo (mostrando contas e interpretação).
  • Primeiro P(X=0):
    P(X=0)=\binom{20}{0}\,p^{0}\,(1-p)^{20}=(1-p)^{20}=(0,7)^{20}.
    Explicação: \binom{20}{0}=1 e p^{0}=1. Ou seja, nenhuma amostra contaminada é a probabilidade de 20 fracassos seguidos.
  • Agora P(X=1):
    P(X=1)=\binom{20}{1}\,p^{1}\,(1-p)^{19}=20\cdot(0,3)\cdot(0,7)^{19}.
    Observação útil para cálculo: podemos relacionar P(X=1) com P(X=0). Note que
    P(X=1)=20\cdot\frac{p}{1-p}\cdot(1-p)^{20}=20\cdot\frac{0,3}{0,7}\cdot(0,7)^{20}.
    Assim, uma vez conhecido (0,7)^{20} podemos obter P(X=1) multiplicando por 20\cdot(0,3/0,7).

Passo 6

Aproximação numérica das probabilidades (como obter valor final).
  • Vamos estimar numericamente (0,7)^{20}. Usando aproximação por logaritmos (ou uma calculadora de bolso), obtemos
    (0,7)^{20}\approx 0,000799.
    (Explicação rápida: \ln(0,7)\approx -0,3566749, então 20\ln(0,7)\approx -7,1335 e \mathrm{e}^{-7,1335}\approx 0,000799.)
  • Com isso,
    P(X=0)\approx 0,000799.
    E
    P(X=1)=20\cdot\frac{0,3}{0,7}\cdot(0,7)^{20}\approx 20\cdot\frac{3}{7}\cdot 0,000799.
    Calculando:
    20\cdot\frac{3}{7}=20\cdot 0,428571\ldots \approx 8,571428,
    então
    P(X=1)\approx 8,571428\cdot 0,000799 \approx 0,006848.
  • Agora somamos:
    P(X\le 1)=P(X=0)+P(X=1)\approx 0,000799+0,006848=0,007647.
  • Finalmente o complementar:
    P(X>1)=1-P(X\le 1)\approx 1-0,007647\approx 0,992353.
    Podemos arredondar para 0,99235 (ou para três casas decimais, 0,992) conforme necessidade da prova.

Passo 7

Cálculo do valor esperado E[X] e interpretação (fórmula e aplicação).
  • Para uma variável binomial X\sim\mathrm{Binomial}(n,p), a esperança matemática (valor esperado) é dada por
    E[X]=n\cdot p.
    Explicação intuitiva: em média, de n ensaios cada um tem probabilidade p de ser sucesso, então esperamos n vezes p sucessos no total.
  • No nosso caso:
    E[X]=20\cdot 0,3=6.
    Interpretação: em média, espera-se encontrar 6 amostras contaminadas entre as 20.

Resposta

a) X\sim\mathrm{Binomial}(20,0,3)
b) P(X>1)\approx 0,99235
c) E[X]=6

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