Ein uma campanha de monitoramento ambiental, foram coletadhs 20 amostras de água de diferentes pontos de um rio para verificar a presença de coliformes fecais. Sabe-se que, para cada amostra. a probabilidade de contaminaçio é de
, independentemente das demnis.
a) Modele a variável aleatória
, número de amostras contaminadas, indicando sua distribulçio de probabilidade;
b) Qual é a probabilidade de mais de uma amostra apresentar contaminaçio?
c) Qual é o número esperado de amostras contaminadas.
a) Modele a variável aleatória
b) Qual é a probabilidade de mais de uma amostra apresentar contaminaçio?
c) Qual é o número esperado de amostras contaminadas.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas.
-
Informações dadas:
- Foram coletadas
amostras independentes. - Para cada amostra, a probabilidade de estar contaminada é
, ou seja, . - Independência entre as amostras (o resultado de uma não afeta o de outra).
- Foram coletadas
-
Perguntas do enunciado:
- (a) Modelar a variável aleatória
, número de amostras contaminadas, indicando sua distribuição de probabilidade. - (b) Calcular a probabilidade de mais de uma amostra apresentar contaminação, isto é
. - (c) Calcular o número esperado de amostras contaminadas, isto é
.
- (a) Modelar a variável aleatória
Passo 2
Por que tipo de modelo usar (explicação didática e escolha do método).
- Temos um experimento repetido
vezes (aqui ), em cada repetição há apenas dois resultados possíveis: “contaminada” ou “não contaminada”. - A probabilidade de sucesso (contaminação) em cada ensaio é a mesma e igual a
. - Os ensaios são independentes.
Essas três condições (n ensaios, probabilidade fixa
, ensaios independentes, cada ensaio com dois resultados) definem o modelo conhecido como distribuição binomial. Portanto vamos modelar
como uma variável aleatória binomial. Vou agora apresentar a fórmula dessa distribuição e explicar cada termo.
Passo 3
Definição e fórmula da distribuição binomial (aula curta).
- A variável aleatória
que conta o número de sucessos em ensaios independentes com probabilidade de sucesso em cada ensaio tem distribuição binomial. - Notação e parâmetros:
onde é o número de ensaios e é a probabilidade de sucesso em cada ensaio. - Função massa de probabilidade (PMF): para
, - Aqui
(lê-se “n escolhe k”) é o número de maneiras de escolher quais ensaios deram sucesso entre os . -
é a probabilidade de obter esses sucessos. -
é a probabilidade dos fracassos nas outras ensaios.
- Aqui
- Para o nosso caso,
e . Assim:
Passo 4
Cálculo de
com uso de complementar (estratégia prática e motivo).
- Calcular diretamente
é trabalhoso. Uma estratégia muito prática é usar o complementar: - Vamos calcular
e usando a PMF.
Passo 5
Cálculo de
e
passo a passo (mostrando contas e interpretação).
-
Primeiro
: Explicação:e . Ou seja, nenhuma amostra contaminada é a probabilidade de 20 fracassos seguidos. -
Agora
: Observação útil para cálculo: podemos relacionarcom . Note que Assim, uma vez conhecidopodemos obter multiplicando por .
Passo 6
Aproximação numérica das probabilidades (como obter valor final).
-
Vamos estimar numericamente
. Usando aproximação por logaritmos (ou uma calculadora de bolso), obtemos (Explicação rápida:, então e .) -
Com isso,ECalculando:então
-
Agora somamos:
-
Finalmente o complementar:Podemos arredondar para
(ou para três casas decimais, ) conforme necessidade da prova.
Passo 7
Cálculo do valor esperado
e interpretação (fórmula e aplicação).
-
Para uma variável binomial
, a esperança matemática (valor esperado) é dada por Explicação intuitiva: em média, deensaios cada um tem probabilidade de ser sucesso, então esperamos vezes sucessos no total. -
No nosso caso:Interpretação: em média, espera-se encontrar
amostras contaminadas entre as .
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)