Em uma análise da qualidade da água de um rio, os teores de oxigènio dissolvido (OD) вāo modelados por uma distribuiçĩo Normal com média
e desvio padrăo de
. Qual é a probabilidade de o teor de OD ser inferior a
, valor que indica risco para a vida aquática?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma probabilidade:
- Teores de oxigénio dissolvido
seguem uma distribuição Normal com média e desvio padrão . - Pergunta: qual é a probabilidade de o teor de OD ser inferior a
, ou seja, calcular .
Passo 2
O que é preciso entender antes de calcular: a distribuição Normal.
- Dizemos
para indicar que é normal com média e variância . - A média
é o valor central (esperado) da distribuição; o desvio padrão mede a dispersão em torno da média. - Para calcular probabilidades com uma Normal qualquer usamos uma transformação para a Normal padrão
, que tem média e desvio padrão . Isso facilita porque tabelas/funcões conhecidas dão .
Passo 3
Transformação para a Normal padrão (padronização).
- A fórmula de padronização é
onde
é a variável normal padrão.
- Explicando: cada valor
da variável original vira que mede quantos desvios-padrão esse está distante da média . Ex.: se então ; se então .
Passo 4
Aplicando a padronização ao valor pedido
.
- Calculamos
- Ou seja,
está aproximadamente desvios-padrão abaixo da média.
Passo 5
Relacionando a probabilidade com a Normal padrão.
- Queremos
. Pela padronização,
- Pela simetria da Normal padrão,
satisfaz para . Assim
Passo 6
Obter o valor de
a partir da tabela da Normal padrão (ou calculadora).
- Da tabela padrão:
e . (peguei estes valores na tabela padrão da Normal) - Fazemos uma interpolação linear porque
está a um terço do caminho entre e . - Diferença entre os valores da tabela:
. - Um terço dessa diferença é
. - Então
Passo 7
Calcular a probabilidade final.
- Usando
obtemos
- Em percentagem, isso é aproximadamente
. Força aí: significa que é relativamente raro (cerca de ) o teor ficar abaixo de , segundo esse modelo.