Em uma análise da qualidade da água de um rio, os teores de oxigènio dissolvido (OD) вāo modelados por uma distribuiçĩo Normal com média 8 \mathrm{mg} / \mathrm{L} e desvio padrăo de 1,5 \mathrm{mg} / \mathrm{L}. Qual é a probabilidade de o teor de OD ser inferior a 6 \mathrm{mg} / \mathrm{L}, valor que indica risco para a vida aquática?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma probabilidade:
  • Teores de oxigénio dissolvido X seguem uma distribuição Normal com média \mu=8\\ \mathrm{mg/L} e desvio padrão \sigma=1,5\\ \mathrm{mg/L}.
  • Pergunta: qual é a probabilidade de o teor de OD ser inferior a 6\\ \mathrm{mg/L}, ou seja, calcular P(X<6).

Passo 2

O que é preciso entender antes de calcular: a distribuição Normal.
  • Dizemos X \sim N(\mu,\sigma^{2}) para indicar que X é normal com média \mu e variância \sigma^{2}.
  • A média \mu é o valor central (esperado) da distribuição; o desvio padrão \sigma mede a dispersão em torno da média.
  • Para calcular probabilidades com uma Normal qualquer usamos uma transformação para a Normal padrão Z, que tem média 0 e desvio padrão 1. Isso facilita porque tabelas/funcões conhecidas dão P(Z \le z).

Passo 3

Transformação para a Normal padrão (padronização).
  • A fórmula de padronização é
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
onde Z é a variável normal padrão.
  • Explicando: cada valor x da variável original vira z que mede quantos desvios-padrão \sigma esse x está distante da média \mu. Ex.: se x=\mu então z=0; se x=\mu+\sigma então z=1.

Passo 4

Aplicando a padronização ao valor pedido x=6.
  • Calculamos
z=\frac{6-\mu}{\sigma}=\frac{6-8}{1,5}=\frac{-2}{1,5}=-\frac{4}{3}\approx -1,333\ldots
  • Ou seja, 6\\ \mathrm{mg/L} está aproximadamente 1,333 desvios-padrão abaixo da média.

Passo 5

Relacionando a probabilidade com a Normal padrão.
  • Queremos P(X<6). Pela padronização,
P(X<6)=P\!\left(Z<-\tfrac{4}{3}\right).
  • Pela simetria da Normal padrão, \Phi(z)=P(Z\le z) satisfaz \Phi(-a)=1-\Phi(a) para a>0. Assim
P\!\left(Z<-\tfrac{4}{3}\right)=\Phi\!\left(-\tfrac{4}{3}\right)=1-\Phi\!\left(\tfrac{4}{3}\right).

Passo 6

Obter o valor de \Phi(1,333\ldots) a partir da tabela da Normal padrão (ou calculadora).
  • Da tabela padrão: \Phi(1,33)=0,90824 e \Phi(1,34)=0,90990. (peguei estes valores na tabela padrão da Normal)
  • Fazemos uma interpolação linear porque 1,333\ldots está a um terço do caminho entre 1,33 e 1,34.
  • Diferença entre os valores da tabela: 0,90990-0,90824=0,00166.
  • Um terço dessa diferença é 0,00166\times\tfrac{1}{3}\approx 0,000553.
  • Então
\Phi\!\left(1,333\ldots\right)\approx 0,90824+0,000553=0,908793.

Passo 7

Calcular a probabilidade final.
  • Usando \Phi\!\left(-\tfrac{4}{3}\right)=1-\Phi\!\left(\tfrac{4}{3}\right) obtemos
P(X<6)=1-0,908793=0,091207\approx 0,0912.
  • Em percentagem, isso é aproximadamente 9,12\%. Força aí: significa que é relativamente raro (cerca de 9\%) o teor ficar abaixo de 6\\ \mathrm{mg/L}, segundo esse modelo.

Resposta

P(X<6)\approx 0,0912

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