A velocidade do vento em certa região segue uma distribuição Exponencial com média igual a 5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Encontre a probabilidade de se observar na região uma velocidade do vento entre 3 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e 7 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado diz que a velocidade do vento em certa região segue uma distribuição Exponencial com média igual a \,5\\ \mathrm{m/s}\,. A pergunta é: qual a probabilidade de observar uma velocidade do vento entre \,3\\ \mathrm{m/s}\, e \,7\\ \mathrm{m/s}\,?\n
Informações dadas:
\text{média} = 5\\ \mathrm{m/s}é
\text{intervalo pedido} = [3,\;7]\\ \mathrm{m/s}

Passo 2

Vamos lembrar a definição básica da distribuição Exponencial e como usar a média para achar o parâmetro. A densidade de probabilidade (pdf) da Exponencial é
f(x)=\lambda e^{-\lambda x},\quad x\ge 0,
onde \lambda>0 é o parâmetro da distribuição. A esperança (média) dessa distribuição é
E[X]=\frac{1}{\lambda}.
Aqui a média foi dada como \,5. Então resolvemos para \lambda:
\lambda=\frac{1}{5}=0,2.
Explicando em palavras: \lambda mede a “taxa” de decaimento — quanto maior \lambda, mais provável que valores pequenos apareçam. Com média 5, temos \lambda=0,2.

Passo 3

A probabilidade de X cair no intervalo [a,b] (com 0\le a<b) para a Exponencial é a integral da pdf entre a e b:
P(a\le X\le b)=\int_{a}^{b}\lambda e^{-\lambda x}\,dx.
Vamos calcular essa integral passo a passo. A primitiva de \lambda e^{-\lambda x} em relação a x é -e^{-\lambda x} porque, ao derivar -e^{-\lambda x}, obtemos \lambda e^{-\lambda x}. Portanto,
\int_{a}^{b}\lambda e^{-\lambda x}\,dx=\Big[-e^{-\lambda x}\Big]_{x=a}^{x=b} = -e^{-\lambda b}-\big(-e^{-\lambda a}\big)=e^{-\lambda a}-e^{-\lambda b}.
Ou seja, uma forma conveniente usando a função de distribuição acumulada (CDF) é
P(a\le X\le b)=e^{-\lambda a}-e^{-\lambda b}.
Isso faz sentido: a CDF é F(x)=1-e^{-\lambda x}, então P(a\le X\le b)=F(b)-F(a)=(1-e^{-\lambda b})-(1-e^{-\lambda a})=e^{-\lambda a}-e^{-\lambda b}.

Passo 4

Agora aplicamos com a=3, b=7 e \lambda=1/5. Substituindo na fórmula:
P(3\le X\le 7)=e^{-\lambda\cdot 3}-e^{-\lambda\cdot 7}=e^{-(1/5)\cdot 3}-e^{-(1/5)\cdot 7}=e^{-3/5}-e^{-7/5}.
Vamos avaliar numericamente. Os expoentes são -3/5=-0,6 e -7/5=-1,4. Usando aproximações para a função exponencial:
e^{-0,6}\approx 0,5488116361,\qquad e^{-1,4}\approx 0,2465969639.
Subtraindo:
P(3\le X\le 7)\approx 0,5488116361-0,2465969639=0,3022146722.
Arredondando de forma prática (duas casas decimais já dá uma boa intuição):
P(3\le X\le 7)\approx 0,30,
ou com quatro casas decimais,
P(3\le X\le 7)\approx 0,3022.

Passo 5

Interpretação final: a probabilidade de observar uma velocidade do vento entre \,3\\ \mathrm{m/s}\, e \,7\\ \mathrm{m/s}\, é aproximadamente 30{,}22\%. Força aí — dá pra decorar a ideia: transformar média em \lambda, usar P(a\le X\le b)=e^{-\lambda a}-e^{-\lambda b} e calcular.

Resposta

e^{-3/5}-e^{-7/5}\approx 0,3022

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