O eixo da bomba está na cota 151,5 \mathrm{~m}. Determine:
  1. (adaptado de PORTO, 2006, p. 23) Considere um sistema de bombeamento com rendimento de 75 \% que recalca uma vazão de 15 \mathrm{~L} / \mathrm{s} de água do reservatório de montante, com nível d’água na cota 150 m , para ao reservatório de jusante, com nível d’água na cota 200 m . A perda de carga total na sucção e de jusante (recalque) são, respectivamente, Hfsuc = 0,56 \mathrm{~m} e Hfrec =17,92 \mathrm{~m}. Os diâmetros das tubulações de sucção e recalque são, respectivamente, 150 mm e 100 mm.
b) A carga de pressão disponível no centro das seções de entrada e saída da bomba.

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados (todos os números abaixo estão em notação do problema e foram colocados em unidades SI):
  • Vazão: Q = 15\\ \mathrm{L/s} = 0,015\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Nível do reservatório de montante (superfície livre): z_0 = 150\\ \mathrm{m}.
  • Nível do reservatório de jusante (superfície livre): z_3 = 200\\ \mathrm{m}.
  • A cota do eixo (centro) da bomba: z_{\text{bomba}} = 151{,}5\\ \mathrm{m}. Vamos usar essa cota tanto para a seção de entrada da bomba (sucção) quanto para a seção de saída (recalque) — ou seja, z_1 = z_2 = 151{,}5\\ \mathrm{m}.
  • Perda de carga total na linha de sucção: H_{f,\text{suc}} = 0{,}56\\ \mathrm{m}.
  • Perda de carga total na linha de recalque: H_{f,\text{rec}} = 17{,}92\\ \mathrm{m}.
  • Diâmetro da sucção: D_{\text{suc}} = 150\\ \mathrm{mm} = 0{,}150\\ \mathrm{m}.
  • Diâmetro do recalque: D_{\text{rec}} = 100\\ \mathrm{mm} = 0{,}100\\ \mathrm{m}.
O que o item (b) pede:
  • Determinar a carga de pressão disponível no centro da seção de entrada da bomba (seção de sucção) — isto é, o termo p_1/\gamma expresso em metros de coluna de água, no centro da seção de sucção da bomba.
  • Determinar a carga de pressão disponível no centro da seção de saída da bomba (seção de recalque) — isto é, o termo p_2/\gamma em metros de coluna de água, no centro da seção de saída da bomba.

Passo 2

Primeiro calculamos as velocidades nos dois trechos (é necessário para obter as cabeças cinéticas). Fórmulas e conceitos usados:
  • Área de um tubo: \displaystyle A=\frac{\pi D^2}{4}.
  • Velocidade média: \displaystyle v=\frac{Q}{A}.
  • Cabeça cinética (velocidade): \displaystyle \frac{v^2}{2g}, com g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
Cálculos:
A_{\text{suc}}=\frac{\pi D_{\text{suc}}^2}{4}=\frac{\pi(0{,}150)^2}{4}=0{,}017671\\ \mathrm{m^2}.
v_{\text{suc}}=\frac{Q}{A_{\text{suc}}}=\frac{0{,}015}{0{,}017671}=0{,}8485\\ \mathrm{m/s}.
\frac{v_{\text{suc}}^2}{2g}=\frac{(0{,}8485)^2}{2\cdot9{,}81}=0{,}0367\\ \mathrm{m}.
A_{\text{rec}}=\frac{\pi D_{\text{rec}}^2}{4}=\frac{\pi(0{,}100)^2}{4}=0{,}007854\\ \mathrm{m^2}.
v_{\text{rec}}=\frac{Q}{A_{\text{rec}}}=\frac{0{,}015}{0{,}007854}=1{,}910\\ \mathrm{m/s}.
\frac{v_{\text{rec}}^2}{2g}=\frac{(1{,}910)^2}{2\cdot9{,}81}=0{,}1859\\ \mathrm{m}.
Observação: arredondei as velocidades e cabeças cinéticas com 3 casas significativas para manter clareza nas contas.

Passo 3

Agora calculamos a cabeça hidráulica adicionada pela bomba (carga que a bomba precisa fornecer). Uso do balanço de energia entre as superfícies livres dos reservatórios (pontos 0 e 3), assumindo pressões atmosféricas iguais nas superfícies e velocidades desprezíveis nas superfícies dos reservatórios:
Relação:
H_{\text{bomba}} = (z_3 - z_0) + H_{f,\text{suc}} + H_{f,\text{rec}}.
Substituindo:
z_3 - z_0 = 200 - 150 = 50\\ \mathrm{m},
H_{f,\text{suc}} + H_{f,\text{rec}} = 0{,}56 + 17{,}92 = 18{,}48\\ \mathrm{m},
H_{\text{bomba}} = 50 + 18{,}48 = 68{,}48\\ \mathrm{m}.
Esse valor confirma quanto de cabeça hidráulica (em metros de água) a bomba deve prover para vencer elevação e perdas.

Passo 4

Cálculo da carga de pressão na seção de entrada da bomba (seção de sucção, ponto 1).
Usamos o equilíbrio de energia entre a superfície livre do reservatório de montante (ponto 0) e o centro da seção de sucção (ponto 1), incluindo a perda de carga na sucção H_{f,\text{suc}}. A equação de Bernoulli (por unidade de peso) dá:
\frac{p_0}{\gamma} + z_0 + \frac{v_0^2}{2g} = \frac{p_1}{\gamma} + z_1 + \frac{v_1^2}{2g} + H_{f,\text{suc}}.
Como a superfície do reservatório está à pressão atmosférica e tem velocidade praticamente nula, \dfrac{p_0}{\gamma}=0 e \dfrac{v_0^2}{2g}\approx0. Portanto:
\frac{p_1}{\gamma} = z_0 - z_1 - \frac{v_1^2}{2g} - H_{f,\text{suc}}.
Substituindo números:
\frac{p_1}{\gamma} = 150 - 151{,}5 - 0{,}0367 - 0{,}56.
\frac{p_1}{\gamma} = -1{,}5 - 0{,}0367 - 0{,}56 = -2{,}0967\\ \mathrm{m}.
Arredondando para duas casas decimais:
\frac{p_1}{\gamma} \approx -2{,}10\\ \mathrm{m}.
Interpretação rápida: o valor negativo indica que, na seção de sucção, a pressão absoluta está abaixo da pressão atmosférica por uma altura equivalente a 2{,}10\\ \mathrm{m} de coluna de água (atenção à cavitação em projeto real).

Passo 5

Cálculo da carga de pressão na seção de saída da bomba (seção de recalque, ponto 2).
Podemos usar o balanço entre o centro da seção de saída (ponto 2) e a superfície do reservatório de jusante (ponto 3), incluindo as perdas na linha de recalque H_{f,\text{rec}}:
\frac{p_2}{\gamma} + z_2 + \frac{v_2^2}{2g} = \frac{p_3}{\gamma} + z_3 + \frac{v_3^2}{2g} + H_{f,\text{rec}}.
Com \dfrac{p_3}{\gamma}=0 e \dfrac{v_3^2}{2g}\approx0, isolamos \dfrac{p_2}{\gamma}:
\frac{p_2}{\gamma} = z_3 - z_2 - \frac{v_2^2}{2g} + H_{f,\text{rec}}.
Substituindo:
\frac{p_2}{\gamma} = 200 - 151{,}5 - 0{,}1859 + 17{,}92.
\frac{p_2}{\gamma} = 48{,}5 - 0{,}1859 + 17{,}92 = 66{,}2341\\ \mathrm{m}.
Arredondando para duas casas decimais:
\frac{p_2}{\gamma} \approx 66{,}23\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Cheque rápido de consistência (opcional, só para confirmar): a diferença entre a energia por peso na saída e na entrada da bomba deve ser justamente H_{\text{bomba}}.
\biggl(\frac{p_2}{\gamma}+z_2+\frac{v_2^2}{2g}\biggr)-\biggl(\frac{p_1}{\gamma}+z_1+\frac{v_1^2}{2g}\biggr) =68{,}48\\ \mathrm{m},
o que coincide com H_{\text{bomba}} calculada no Passo 3 — logo os resultados são consistentes.

Resposta

\displaystyle \frac{p_1}{\gamma}\approx -2{,}10\\ \mathrm{m}
\displaystyle \frac{p_2}{\gamma}\approx 66{,}23\\ \mathrm{m}

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