O eixo da bomba está na cota 151,5 \mathrm{~m}. Determine:
  1. (adaptado de PORTO, 2006, p. 23) Considere um sistema de bombeamento com rendimento de 75 \% que recalca uma vazão de 15 \mathrm{~L} / \mathrm{s} de água do reservatório de montante, com nível d’água na cota 150 m , para ao reservatório de jusante, com nível d’água na cota 200 m . A perda de carga total na sucção e de jusante (recalque) são, respectivamente, Hfsuc = 0,56 \mathrm{~m} e Hfrec =17,92 \mathrm{~m}. Os diâmetros das tubulações de sucção e recalque são, respectivamente, 150 mm e 100 mm.
c) A altura manométrica e a potência requerida do CMB .

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
  • Dados numéricos (peguei todos do enunciado):
    • Vazão Q = 15\\ \mathrm{L/s} = 0,015\\ \mathrm{m^3/s}.
    • Nível do reservatório de montante (aguas acima): z_{\text{mont}} = 150\\ \mathrm{m}.
    • Nível do reservatório de jusante (aguas abaixo): z_{\text{jus}} = 200\\ \mathrm{m}.
    • Perda de carga na sucção: H_{f,\text{suc}} = 0,56\\ \mathrm{m}.
    • Perda de carga no recalque: H_{f,\text{rec}} = 17,92\\ \mathrm{m}.
    • Diâmetro da sucção: D_{\text{suc}} = 150\\ \mathrm{mm} = 0,150\\ \mathrm{m}.
    • Diâmetro do recalque: D_{\text{rec}} = 100\\ \mathrm{mm} = 0,100\\ \mathrm{m}.
    • Rendimento da bomba (eficiência): \eta = 75\% = 0,75.
    • Densidade da água (assumida): \rho = 1000\\ \mathrm{kg/m^3}.
    • Aceleração da gravidade (assumida): g = 9,81\\ \mathrm{m/s^2}.
  • O enunciado pede (item c):
    1. A altura manométrica da bomba (altura que a bomba efetivamente dá à água), H_m.
    2. A potência requerida pelo conjunto motor-bomba (CMB), P.

Passo 2

Explicar a fórmula geral da altura manométrica e escolher pontos de referência (aula curta e prática).
  • Para bombas que ligam dois reservatórios abertos (mesma pressão atmosférica nos dois espelhos d’água), a fórmula prática da altura manométrica é:
H_m = (z_{\text{jus}} - z_{\text{mont}}) + \frac{V_{\text{rec}}^{2}-V_{\text{suc}}^{2}}{2g} + H_{f,\text{suc}} + H_{f,\text{rec}}.
Aqui:
  • z_{\text{jus}}-z_{\text{mont}} é a diferença de elevações entre os espelhos d’água (o que a bomba precisa vencer em estático).
  • \dfrac{V_{\text{rec}}^{2}-V_{\text{suc}}^{2}}{2g} é a diferença das energias cinéticas (cabeça de velocidade) na descarga e na sucção.
  • H_{f,\text{suc}} e H_{f,\text{rec}} são as perdas de carga nas tubulações (fornecidas).
  • Explicação intuitiva: a bomba deve fornecer a elevação geométrica, compensar perdas por atrito e ainda fornecer o acréscimo (ou redução) da energia cinética entre entrada e saída.
Observação: como ambos os reservatórios estão à pressão atmosférica, os termos de pressão (p_2-p_1)/(\rho g) se cancelam.

Passo 3

Calcular as velocidades média nas tubulações (precisamos delas para o termo de velocidade). Primeiro converto áreas e depois V=Q/A.
  • Área da sucção:
A_{\text{suc}} = \frac{\pi D_{\text{suc}}^{2}}{4} = \frac{\pi (0,150)^{2}}{4}.
Vamos computar passo a passo:
(0,150)^{2} = 0,0225.
A_{\text{suc}} = \frac{\pi \cdot 0,0225}{4} = \pi \cdot 0,005625 \approx 0,01767\\ \mathrm{m^2}.
  • Área do recalque:
A_{\text{rec}} = \frac{\pi D_{\text{rec}}^{2}}{4} = \frac{\pi (0,100)^{2}}{4}.
(0,100)^{2} = 0,01.
A_{\text{rec}} = \frac{\pi \cdot 0,01}{4} = \pi \cdot 0,0025 \approx 0,007854\\ \mathrm{m^2}.
  • Velocidades médias:
V_{\text{suc}} = \frac{Q}{A_{\text{suc}}} = \frac{0,015}{0,01767} \approx 0,849\\ \mathrm{m/s}.
V_{\text{rec}} = \frac{Q}{A_{\text{rec}}} = \frac{0,015}{0,007854} \approx 1,910\\ \mathrm{m/s}.
Pequeno comentário amigo: são velocidades bem razoáveis (não enormes), o que justifica que as cabeças de velocidade serão pequenas comparadas às perdas e à elevação.

Passo 4

Calcular o termo de cabeça de velocidade \dfrac{V_{\text{rec}}^{2}-V_{\text{suc}}^{2}}{2g}.
  • Primeiro os quadrados:
V_{\text{rec}}^{2} \approx (1,910)^{2} \approx 3,648\\ \mathrm{m^2/s^2},
V_{\text{suc}}^{2} \approx (0,849)^{2} \approx 0,721\\ \mathrm{m^2/s^2}.
  • Diferença:
V_{\text{rec}}^{2}-V_{\text{suc}}^{2} \approx 3,648 - 0,721 = 2,927\\ \mathrm{m^2/s^2}.
  • Dividindo por 2g (com g=9,81\\ \mathrm{m/s^2}):
\frac{V_{\text{rec}}^{2}-V_{\text{suc}}^{2}}{2g} \approx \frac{2,927}{2\cdot 9,81} = \frac{2,927}{19,62} \approx 0,149\\ \mathrm{m}.
Explicação curta: esse número é a “pequena” contribuição que muda porque o tubo de saída é menor (maior velocidade), logo a bomba precisa entregar um pouco mais de energia cinética.

Passo 5

Calcular a diferença de nível e somar todas as parcelas para obter H_m.
  • Diferença de nível entre os espelhos d’água:
z_{\text{jus}} - z_{\text{mont}} = 200 - 150 = 50\\ \mathrm{m}.
  • Somando tudo:
H_m = 50 + 0,149 + 0,56 + 17,92.
Vamos somar passo a passo:
0,56 + 17,92 = 18,48.
50 + 18,48 = 68,48.
68,48 + 0,149 \approx 68,629\\ \mathrm{m}.
Arredondando de forma prática para a prova: H_m \approx 68,63\\ \mathrm{m}.
Comentário amigo: se em prova o enunciado não pede incluir cabeça de velocidade, muitos colegas arredondam para 68,48\\ \mathrm{m}; aqui eu incluí o termo de velocidade por rigorzinho, já que deram os diâmetros.

Passo 6

Agora vamos calcular a potência hidráulica requerida pela bomba e a potência elétrica/mecânica no motor considerando rendimento.
  • Potência hidráulica (energia por segundo entregue ao fluido):
P_{\text{hid}} = \rho g Q H_m.
Substituindo \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}, g=9,81\\ \mathrm{m/s^2}, Q=0,015\\ \mathrm{m^3/s} e H_m \approx 68,629\\ \mathrm{m}:
P_{\text{hid}} = 1000 \cdot 9,81 \cdot 0,015 \cdot 68,629.
Calculemos em passos:
1000\cdot 0,015 = 15.
15 \cdot 9,81 = 147,15.
147,15 \cdot 68,629 \approx 10098,8\\ \mathrm{W}.
  • Potência no motor (potência requerida do CMB), considerando rendimento \eta:
P = \frac{P_{\text{hid}}}{\eta} = \frac{10098,8}{0,75} \approx 13465,1\\ \mathrm{W}.
Em unidades usuais:
P \approx 13,47\\ \mathrm{kW}.
Interpretação rápida: o motor precisa fornecer cerca de 13{,}5\\ \mathrm{kW} para que a bomba entregue o que calculamos, dado o rendimento.

Passo 7

Checagem e arredondamento final amigável.
  • Altura manométrica arredondada para duas casas decimais: H_m \approx 68,63\\ \mathrm{m}.
  • Potência requerida arredondada para duas casas decimais e em kW: P \approx 13,47\\ \mathrm{kW}.
Força final: deu trabalho, mas agora você tem os passos claros para refazer na prova — converte vazão, calcula áreas, velocidades, cabeça de velocidade, soma as parcelas da altura manométrica e aplica \rho g Q H/\eta para potência. Vai dar certo!

Resposta

H_m \approx 68,63\\ \mathrm{m}
P \approx 13,47\\ \mathrm{kW}

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