1. (Fonte desconhecida) Determinar a potência de uma bomba, não afogada, a função \mathrm{H} \times \mathrm{Q} (curva do sistema) do sistema de bombeamento com as seguintes características:
  • Temperatura média de 20^{\circ} \mathrm{C}.
  • Coeficiente de H. W. igual a 100.
  • Vazão máxima de bombeamento =250 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h}.
  • Velocidade do escoamento no recalque de 1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
  • Diâmetro de recalque =300 \mathrm{~mm}.
  • Diâmetro de sucção =350 \mathrm{~mm}.
  • Altura de sucção =5 \mathrm{~m}.
  • Altura de recalque =47,5 \mathrm{~m}.
  • Rendimento do motor de 88 \%.
  • Rendimento da bomba de 86 \%.
  • Comprimento total (real + equivalente) de sucção = 205 m .
  • Comprimento total (real + equivalente) de recalque = 190 m .

Passo 1

Vou listar exatamente o que o enunciado nos deu e o que ele pede (peguei todos estes números do enunciado).
Dados fornecidos:
  • Temperatura média: 20^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente de Hazen–Williams: C=100.
  • Vazão máxima de projeto: Q_{\max}=250\\ \mathrm{m^3/h}.
  • Velocidade no recalque: v_{\mathrm{rec}}=1\\ \mathrm{m/s}.
  • Diâmetro do recalque: D_{\mathrm{rec}}=300\\ \mathrm{mm}=0{,}300\\ \mathrm{m}.
  • Diâmetro da sucção: D_{\mathrm{suc}}=350\\ \mathrm{mm}=0{,}350\\ \mathrm{m}.
  • Cota (altura) de sucção: z_{\mathrm{suc}}=5{,}0\\ \mathrm{m}.
  • Cota (altura) de recalque: z_{\mathrm{rec}}=47{,}5\\ \mathrm{m}.
  • Rendimento da bomba: \eta_{\mathrm{bomba}}=86\% = 0{,}86.
  • Rendimento do motor: \eta_{\mathrm{motor}}=88\% = 0{,}88.
  • Comprimento total (real + equivalente) da sucção: L_{\mathrm{suc}}=205\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento total (real + equivalente) do recalque: L_{\mathrm{rec}}=190\\ \mathrm{m}.
O que o enunciado pede:
  1. Determinar a curva do sistema H\times Q (ou seja, a altura total que o sistema exige em função da vazão Q).
  2. Determinar a potência necessária da bomba (e, por consequência, a potência elétrica do motor) para a vazão máxima dada.
Observações úteis (próximos passos usarão estas constantes físicas; peguei a temperatura apenas para saber que se trata de água a 20^\circ\mathrm{C}):
  • Densidade da água a 20^\circ\mathrm{C}: \rho \approx 998\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Aceleração da gravidade: g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 2

Explicação do método que vamos usar (passo didático): perda por atrito pelo método de Hazen–Williams e altura estática.
  • A curva do sistema é dada por
H(Q)=H_{\text{estática}}+H_{\text{perdas}}(Q).á
Aqui H_{\text{estática}}á é a diferença de nível entre recalque e sucção (pressões nas bocas assumidas iguais/abertas), e H_{\text{perdas}}(Q) são as perdas por atrito nas tubulações (função da vazão).
  • Para água e com o coeficiente de Hazen–Williams fornecido, usamos a fórmula de Hazen–Williams na forma:
h_f = 10{,}67\; \frac{L\,Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\,D^{4{,}871}},
onde
  • h_f é a perda de carga (m) ao longo de comprimento L (m),
  • Q é a vazão em \mathrm{m^3/s},
  • C é o coeficiente de Hazen–Williams (adimensional),
  • D é o diâmetro interno da tubulação em \mathrm{m},
  • o número 10{,}67 é a constante usada nesta forma da equação (unidades consistentes com Q em \mathrm{m^3/s}, D em m, L em m).
Vou aplicar essa fórmula separadamente para o trecho de sucção e para o trecho de recalque (os comprimentos dados já são “real + equivalente”, logo já contemplam perdas localizadas em equivalente de comprimento).

Passo 3

Calcular a altura estática H_{\text{estática}}á.
  • Diferença de nível entre recalque e sucção:
H_{\text{estática}} = z_{\mathrm{rec}} - z_{\mathrm{suc}} = 47{,}5 - 5{,}0 = 42{,}5\\ \mathrm{m}.á
Explicação: essa é a componente da cabeça que não depende da vazão — é só a diferença de cota que a bomba precisa superar.

Passo 4

Montar as expressões de perda por atrito para cada trecho usando Hazen–Williams e calcular os coeficientes numéricos.
Primeiro, escrevo a perda por atrito em cada trecho na forma
h_{f,i} = K_i\,Q^{1{,}852},
onde K_i = 10{,}67\; \dfrac{L_i}{C^{1{,}852} D_i^{4{,}871}} e Q em \mathrm{m^3/s}.
Agora calculo K_{\mathrm{rec}} (recalque, L_{\mathrm{rec}}=190\\ \mathrm{m}, D_{\mathrm{rec}}=0{,}300\\ \mathrm{m}):
C^{1{,}852} = 100^{1{,}852}\approx 5065{,}48,
D_{\mathrm{rec}}^{4{,}871} = (0{,}300)^{4{,}871}\approx 0{,}002839,
\Rightarrow K_{\mathrm{rec}} = 10{,}67\; \frac{190}{5065{,}48\cdot 0{,}002839}\approx 141{,}0.
Então
h_{f,\mathrm{rec}} \approx 141{,}0\; Q^{1{,}852}.
Agora K_{\mathrm{suc}} (sucção, L_{\mathrm{suc}}=205\\ \mathrm{m}, D_{\mathrm{suc}}=0{,}350\\ \mathrm{m}):
D_{\mathrm{suc}}^{4{,}871} = (0{,}350)^{4{,}871}\approx 0{,}006019,
\Rightarrow K_{\mathrm{suc}} = 10{,}67\; \frac{205}{5065{,}48\cdot 0{,}006019}\approx 71{,}75.
Então
h_{f,\mathrm{suc}} \approx 71{,}75\; Q^{1{,}852}.
Somando as perdas nas duas linhas (sucção + recalque):
H_{\text{perdas}}(Q)=h_{f,\mathrm{suc}}+h_{f,\mathrm{rec}}\approx (71{,}75+141{,}0)\;Q^{1{,}852}=212{,}75\;Q^{1{,}852}.
Comentário didático: aqui Q está em \mathrm{m^3/s}. A dependência Q^{1{,}852} é típica do Hazen–Williams; portanto a curva do sistema será a soma de uma constante (estática) com uma curva não-linear de potência ~1,852 em Q.

Passo 5

Escrever a curva do sistema H(Q) final (forma e unidades).
  • Em função de Q em \mathrm{m^3/s}:
\boxed{\,H(Q)=42{,}5 + 212{,}75\;Q^{1{,}852}\quad\text{(com \(Q\) em \(\mathrm{m^3/s}\))}\,}
  • Se preferir escrever em função de Q_h em \mathrm{m^3/h} (útil em projetos), lembre que Q = Q_h/3600. Substituindo:
H(Q_h)=42{,}5 + 212{,}75\left(\frac{Q_h}{3600}\right)^{1{,}852}
ou, recolhendo em forma H(Q_h)=42{,}5 + k\;Q_h^{1{,}852} com
k \approx 5{,}46\times 10^{-5}\quad(\text{unidade: m/(m}^3\!/h)^{1{,}852}\text{)}.
Ambas as formas são equivalentes; vou usar a forma com Q em \mathrm{m^3/s} para os cálculos numéricos a seguir.

Passo 6

Converter a vazão máxima para \mathrm{m^3/s} e verificar consistência com a velocidade dada.
  • Conversão:
Q_{\max} = 250\\ \mathrm{m^3/h} = \frac{250}{3600}\\ \mathrm{m^3/s}\approx 0{,}0694444\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Verificação rápida da velocidade no recalque (checa coerência com v_{\mathrm{rec}}=1\\ \mathrm{m/s}):
    Área do recalque A_{\mathrm{rec}}=\dfrac{\pi D_{\mathrm{rec}}^2}{4}=\dfrac{\pi(0{,}300)^2}{4}\approx 0{,}07069\\ \mathrm{m^2}.
v = \frac{Q_{\max}}{A_{\mathrm{rec}}}=\frac{0{,}0694444}{0{,}07069}\approx 0{,}982\\ \mathrm{m/s}\approx 1{,}0\\ \mathrm{m/s},
ou seja, coerente com a velocidade fornecida (pequena diferença por arredondamento).

Passo 7

Calcular a cabeça total que o sistema exige na vazão máxima.
Usando a curva:
H(Q_{\max}) = 42{,}5 + 212{,}75\;Q_{\max}^{1{,}852}.
Calculo de Q_{\max}^{1{,}852}:
Q_{\max}^{1{,}852} = (0{,}0694444)^{1{,}852} \approx 0{,}007202.
Portanto
H(Q_{\max}) \approx 42{,}5 + 212{,}75\times 0{,}007202 \approx 42{,}5 + 1{,}5319 \approx 44{,}032\\ \mathrm{m}.
Interpretação: na vazão máxima a perda por atrito é pequena (aprox. 1{,}53\\ \mathrm{m}) porque os diâmetros são relativamente grandes e, apesar dos comprimentos longos, a perda volumétrica é moderada; a maior componente é a diferença de cota 42{,}5\\ \mathrm{m}.

Passo 8

Calcular a potência hidráulica (potência útil no fluido) exigida pela bomba na vazão máxima e então a potência no eixo da bomba e a potência elétrica do motor, considerando os rendimentos.
Fórmula da potência hidráulica:
P_{\mathrm{hid}} = \rho\,g\,Q\,H.
Substituindo valores (usar \rho=998\\ \mathrm{kg/m^3}, g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}, Q=0{,}0694444\\ \mathrm{m^3/s}, H=44{,}032\\ \mathrm{m}):
P_{\mathrm{hid}} \approx 998\times 9{,}81 \times 0{,}0694444 \times 44{,}032 \approx 29{,}900\\ \mathrm{W}\approx 29{,}9\\ \mathrm{kW}.
Agora potência no eixo da bomba (considerando rendimento da bomba):
P_{\mathrm{eixo}} = \frac{P_{\mathrm{hid}}}{\eta_{\mathrm{bomba}}} = \frac{29{,}900}{0{,}86} \approx 34{,}76\\ \mathrm{kW}.
Potência elétrica do motor (considerando rendimento do motor):
P_{\mathrm{motor}} = \frac{P_{\mathrm{eixo}}}{\eta_{\mathrm{motor}}} = \frac{34{,}76}{0{,}88} \approx 39{,}50\\ \mathrm{kW}.
Comentário prático: então a potência elétrica necessária é aproximadamente 39{,}5\\ \mathrm{kW}. Em especificação real escolher‑se‑ia um motor comercial com potência nominal próxima superior (por exemplo, um motor padrão de 40\\ \mathrm{kW}).

Resposta

H(Q)=42{,}5 + 212{,}75\;Q^{1{,}852}\quad\text{(com \(Q em \mathrm{m^3/s})})
Potência elétrica requerida (para Q=250\\ \mathrm{m^3/h}) \approx 39{,}5\\ \mathrm{kW} (recomendação prática: motor comercial ≈ 40\\ \mathrm{kW}).

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