Questão 4. (3,0 pts) Uma tubulação conecta duas estações de bombeamento que possui 0,60 m de diâmetro. A estação de descarga está a 250 m abaixo da estação a montante e a pressão de descarga é de 300 KPa . Determine a potência requerida para bombear o óleo que possui densidade igual a 810 \mathrm{Kg} / \mathrm{m} 3 e viscosidade cinemática de 4,5 \times 10-6 \mathrm{~m} 2 / \mathrm{s} a uma vazão de 0,56 \mathrm{m} 3 / \mathrm{s}. O material do tubo é aço comercial e a pressão de entrada é atmosférica. O comprimento do tubo deverá ser o primeiro e o último número da sua matrícula acrescido de zero no final. Ex.: Para o número de matrícula 2023010203 o comprimento da tubulação será 230 m .

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que vou assumir (não pedi nada extra, então escolhi o comprimento do exemplo dado no enunciado). Dados fornecidos e escolhas/assunções que farei (tudo abaixo está pegado do enunciado ou assumido explicitamente):
  • Diâmetro da tubulação: D=0,60\\ \mathrm{m}.
  • Vazão volumétrica: Q=0,56\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • A estação de descarga está 250\\ \mathrm{m} abaixo da estação a montante, logo a diferença de cota é \Delta z = z_2-z_1 = -250\\ \mathrm{m} (o ponto 2 é a descarga).
  • Pressão de descarga: p_2=300\\ \mathrm{kPa}.
    • Assumo que esse valor é a pressão relativa (gauge) usualmente informada em problemas práticos. Assim p_2-p_1 = 300\\\ 000\\ \mathrm{Pa}, pois a pressão de entrada é atmosférica e p_1=p_{atm}=101{,}3\\ \mathrm{kPa} (no cálculo o diferencial de pressão fica diretamente 300{,}000\\ \mathrm{Pa} quando p_2 é gauge).
  • Densidade do óleo: \rho=810\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Viscosidade cinemática: \nu=4{,}5\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}/s}.
  • Comprimento da tubulação: pelo enunciado devo usar “o primeiro e o último número da matrícula acrescido de zero no final”. Como a matrícula não foi informada, uso o exemplo do enunciado: comprimento L=230\\ \mathrm{m}. (isso foi assumido explicitamente).
  • Rugosidade absoluta do aço comercial (valor típico): \varepsilon=4{,}5\times10^{-5}\\ \mathrm{m} (ou 0{,}045\\ \mathrm{mm}).
  • A velocidade do fluido é uniforme e as perdas são dominadas por perdas por atrito ao longo do comprimento (usar Darcy–Weisbach).
  • Aceleração da gravidade: g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}.
O que o problema pede:
  • Determinar a potência requerida para bombear o óleo (ou concluir se não é necessária potência e quanto de potência hidráulica estaria disponível).

Passo 2

Calcular a área da seção e a velocidade média. Fórmulas e explicação:
  • Área da seção circular: \displaystyle A=\frac{\pi D^{2}}{4}. Aqui A é em \mathrm{m^{2}}, D em \mathrm{m}.
  • Velocidade média: \displaystyle V=\frac{Q}{A}. Aqui V em \mathrm{m/s}, Q em \mathrm{m^{3}/s}.
Cálculo:
A=\frac{\pi (0,60)^{2}}{4}=\pi\cdot 0{,}09\approx 0{,}282743\\ \mathrm{m^{2}}
V=\frac{0,56}{0{,}282743}\approx 1{,}981457\\ \mathrm{m/s}
Interpretação curta: a velocidade em torno de 2{,}0\\ \mathrm{m/s} é razoável para um óleo em tubulação.

Passo 3

Calcular o número de Reynolds para classificar o escoamento. Fórmula e explicação:
  • Número de Reynolds: \displaystyle \mathrm{Re}=\frac{V D}{\nu}. Se \mathrm{Re}\gtrsim 4000 é turbulento; se \mathrm{Re}\lesssim 2300 é laminar; entre é transição.
Cálculo:
\mathrm{Re}=\frac{1{,}981457\cdot 0{,}60}{4{,}5\times 10^{-6}} \approx 2{,}64194\times 10^{5}.
Conclusão: o escoamento é claramente turbulento ( \mathrm{Re}\approx 2{,}64\times 10^{5}).

Passo 4

Calcular o fator de atrito de Darcy f. Ensino rápido:
  • Para escoamento turbulento em tubulação rugosa, o fator f depende de \mathrm{Re} e da rugosidade relativa \varepsilon/D. Uma fórmula explícita muito usada é a fórmula de Swamee–Jain:
f = 0{,}25\left[\log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon/D}{3{,}7} + \frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\right)\right]^{-2}.
  • Nessa fórmula, \varepsilon é a rugosidade absoluta (m), D o diâmetro (m) e \mathrm{Re} adimensional.
Cálculo passo a passo:
\frac{\varepsilon}{D}=\frac{4{,}5\times 10^{-5}}{0{,}60}=7{,}5\times 10^{-5}.
\frac{\varepsilon/D}{3{,}7}=\frac{7{,}5\times10^{-5}}{3{,}7}\approx 2{,}027\times10^{-5}.
\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}=\frac{5{,}74}{(2{,}64194\times10^{5})^{0{,}9}}\approx 7{,}594\times10^{-5}.
Somando:
\frac{\varepsilon/D}{3{,}7}+\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\approx 9{,}621\times10^{-5}.
Aplicando a fórmula:
f = 0{,}25\left[\log_{10}\!\big(9{,}621\times10^{-5}\big)\right]^{-2} \approx 0{,}015495.
Interpretação: f\approx 0{,}0155 é um valor típico para escoamento turbulento moderado em tubo de aço.

Passo 5

Calcular a perda de carga por atrito ao longo do tubo usando Darcy–Weisbach. Ensino rápido:
  • Equação de Darcy–Weisbach para perda de carga (em metros de coluna de fluido):
h_{L} = f\cdot\frac{L}{D}\cdot\frac{V^{2}}{2g},
onde h_{L} é a perda de carga (m), f é o fator de atrito, L comprimento (m), D diâmetro (m), V velocidade (m/s), g gravidade (m/s²).
Cálculo:
\frac{V^{2}}{2g}=\frac{(1{,}981457)^{2}}{2\cdot 9{,}81}\approx 0{,}2001717\\ \mathrm{m}.
\frac{L}{D}=\frac{230}{0{,}60}=383{,}3333.
h_{L}=0{,}015495\cdot 383{,}3333\cdot 0{,}2001717\approx 1{,}1886\\ \mathrm{m}.
Interpretação: a perda de carga por atrito é pequena (cerca de 1{,}19\\ \mathrm{m}) comparada à diferença de cota de 250\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Montar a equação de energia para determinar a potência do bombeamento e explicar o que cada termo representa. Ensino rápido:
  • A potência hidráulica adicionada (ou necessária) pelo conjunto bomba é dada por:
P_{pump} = Q\left[(p_{2}-p_{1}) + \rho g(z_{2}-z_{1}) + \rho g h_{L}\right],
onde:
  • Q é vazão volumétrica ( \mathrm{m^{3}/s}),
  • p_{2}-p_{1} é a diferença de pressão (Pa),
  • \rho g(z_{2}-z_{1}) é o termo da elevação (Pa),
  • \rho g h_{L} converte a perda de carga em Pa (Pa = N/m²).
  • Observação importante: se o resultado for negativo, significa que a corrente de fluido, por diferença de pressão e pela queda de cota, fornece energia (ou seja, não é necessário fornecer potência; ao contrário, há potência disponível que poderia acionar um gerador).
No nosso caso, com p_2 dado como 300\\ \mathrm{kPa} (assumido gauge), p_2-p_1=300{,}000\\ \mathrm{Pa}. Também sabemos \Delta z = -250\\ \mathrm{m} e h_{L}\approx 1{,}1886\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Substituir números e calcular a potência. Cálculos passo a passo (tudo em SI):
\rho g(z_{2}-z_{1})=810\cdot 9{,}81\cdot(-250)=-1{,}986{,}525\\ \mathrm{Pa}.
\rho g h_{L}=810\cdot 9{,}81\cdot 1{,}1886\approx 9{,}440{,}3\\ \mathrm{Pa}.
Somando os termos dentro do colchete:
(p_{2}-p_{1}) + \rho g(z_{2}-z_{1}) + \rho g h_{L} =300{,}000 -1{,}986{,}525 + 9{,}440{,}3 \approx -1{,}677{,}084{,}7\\ \mathrm{Pa}.
Multiplicando por Q:
P_{pump}=0{,}56\cdot(-1{,}677{,}084{,}7)\approx -939{,}167{,}4\\ \mathrm{W}.
Interpretação do sinal:
  • O resultado é negativo: -939{,}167{,}4\\ \mathrm{W}. Isso significa que, na configuração dada (descida de 250\\ \mathrm{m} e pressão de descarga 300\\ \mathrm{kPa} gauge), o fluido liberaria energia líquida de cerca de 939\\ \mathrm{kW} (isto é, há potência hidráulica disponível no escoamento). Portanto, não é necessária potência para bombear — ao contrário, teoricamente seria possível acionar uma turbina ou extrair energia da corrente.
  • Na prática, uma bomba não será necessária; o sistema precisaria de frenagem/controle do escoamento e, se desejado, de um turbogerador para aproveitar essa potência. Se a pergunta pede “potência requerida para bombear”, a resposta prática é que a potência requerida é zero — o escoamento é favorável e entrega potência.

Passo 8

Resumo e ponto prático final:
  • A análise usou a fórmula de Darcy–Weisbach para as perdas e a relação de energia para a potência.
  • Ficamos com uma potência hidráulica disponível (fluxo gera energia) de aproximadamente 9,39\times10^{5}\\ \mathrm{W}. Assim, não há potência a ser fornecida ao fluido; a potência requerida pelo bombeamento é nula (0 W), se o sistema puder permitir escoamento livre para a jusante com a pressão indicada. Se a intenção for posicionar uma bomba que mantenha alguma pressão maior que a informada, a conta muda conforme esse novo p_2.

Resposta

Potência requerida pelo bombeamento: 0\\ \mathrm{W} (não é necessária).
Potência hidráulica disponível no escoamento (teoricamente extraível): \approx 9,39\times10^{5}\\ \mathrm{W} (aprox. 939\\ \mathrm{kW}).

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