Questão 2. (3,0 pts) Uma tubulação, com 8 km de comprimento e 5 m de diâmetro, fornece água a uma estação de tratamento que está a 668 m abaixo da entrada da tubulação. Se a superfície do tubo for de concreto, encontre a pressão no final do tubo para uma vazão de:
Considere a vazão de acordo com sua matrícula: A vazão será composta por dois dígitos, o primeiro é o oitavo número da sua matrícula e o segundo é o último número de sua matrícula.
Ex.: Para a matrícula 2019022409 a vazão é 49 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}.
Obs: Utilize o menor valor de rugosidade disponível para o concreto.

Passo 1

Primeiro vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (copiei os dados do enunciado):
  • Comprimento da tubulação: L = 8{,}0\\ \text{km} = 8000\\ \text{m}.
  • Diâmetro interno da tubulação: D = 5{,}0\\ \text{m}.
  • Diferença de cota entre entrada e saída: a saída está 668\\ \text{m} abaixo da entrada, então \Delta z = z_{\text{entrada}}-z_{\text{saída}} = 668\\ \text{m}í.
  • Material da superfície: concreto. O enunciado pede para usar o menor valor de rugosidade disponível para concreto (vou especificar o valor que escolhi quando necessário).
  • A vazão volumétrica Q não está explicitamente dada no enunciado texto que você enviou: ela depende de dois dígitos da sua matrícula (oitavo e último dígitos). Esses dígitos não foram informados aqui, portanto o valor de Q é desconhecido para mim.
  • O que se pede: encontrar a pressão no final do tubo para a vazão indicada pela matrícula.
Observação importante (motivação para a resolução): sem o valor numérico de Q não é possível dar a pressão numérica final exigida, porque a perda de carga por atrito depende fortemente de Q. Vou, portanto:
  • Explicar passo a passo como calcular a pressão no final para qualquer Q (fórmulas, procedimentos, interpretação).
  • Fazer um cálculo numérico ilustrativo usando o exemplo do enunciado modelo: Q=49\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s} (esse valor aparece no exemplo; uso-o apenas como exemplo numérico para mostrar como proceder).
    Se você me passar os dois dígitos da sua matrícula eu repito os cálculos com o Q correto e te passo só a resposta final.

Passo 2

Modelo físico e hipótese habitual (o que vamos assumir explicitamente):
  • Considero que a entrada da tubulação se comunica com uma superfície livre à pressão atmosférica (caso típico: a tubulação parte de um reservatório aberto). Assim a pressão na entrada, p_{\text{entrada}}, é a pressão atmosférica; então posso calcular a pressão gauge (acima da atmosférica) na saída. Se preferir a pressão absoluta, basta somar p_{\text{atm}}\approx101325\\ \text{Pa}.
  • Para perda por atrito usarei a equação de Darcy–Weisbach:
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g},
onde cada símbolo significa:
  • h_f: perda de carga por atrito (em metros de coluna d’água).
  • f: fator de atrito adimensional (dependente de rugosidade e número de Reynolds).
  • L: comprimento da tubulação (m).
  • D: diâmetro interno (m).
  • V: velocidade média do escoamento (m/s).
  • g: aceleração da gravidade ( g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}).
  • A equação de energia entre entrada (ponto 1) e saída (ponto 2), desprezando perdas menores e máquinas, em forma simplificada dá:
\frac{p_1}{\rho g} + z_1 + \frac{V^2}{2g} = \frac{p_2}{\rho g} + z_2 + \frac{V^2}{2g} + h_f,
onde \rho é a densidade da água (usarei \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}). A velocidade é a mesma (mesmo diâmetro), então termos cinéticos cancelam; rearranjando para pressão gauge na saída (p_2 - p_{\text{atm}}) obtemos:
p_{2,\text{gauge}} = \rho g (\Delta z - h_f),
com \Delta z = z_1 - z_2. Ou seja, a pressão disponível na saída (sobre a atmosfera) é a energia potencial convertida em pressão menos as perdas por atrito.

Passo 3

Como obter V a partir de Q (passo prático elementar):
  • Área da seção transversal circular:
A = \frac{\pi D^2}{4}.
  • Velocidade média:
V = \frac{Q}{A}.
Expliquei isso porque na prova é comum esquecer de transformar Q em V antes de aplicar Darcy–Weisbach.

Passo 4

Número de Reynolds e regime de escoamento; viscosidade:
  • O número de Reynolds é
\mathrm{Re} = \frac{V D}{\nu},
onde \nu é a viscosidade cinemática da água. Usualmente toma-se \nu = 1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s} (água ~20 ºC).
  • Se \mathrm{Re} for bem maior que 4000 o escoamento é turbulento; para a tubulação grande e vazões usuais será turbulento. Nesse caso o fator f depende da razão rugosidade relativa k_s/D e de \mathrm{Re}.

Passo 5

Escolha da rugosidade do concreto e método prático para obter f:
  • O enunciado diz: “Utilize o menor valor de rugosidade disponível para o concreto.” Vou adotar um valor típico de referência para concreto novo e bem acabado: rugosidade absoluta k_s = 1{,}5\times10^{-3}\\ \mathrm{m} (isto é 1{,}5\\ \mathrm{mm}). Muitos compêndios listam para tubos de concreto valores entre 1{,}0\\ \text{mm} e 3{,}0\\ \text{mm}; escolhi 1{,}5\\ \mathrm{mm} como menor valor razoável de catálogo comum. Se você tiver outra tabela, substitua k_s pelo valor da sua tabela.
  • Para calcular f de modo prático e sem iteração use a fórmula explícita de Swamee–Jain (boa aproximação para regime turbulento):
f = \frac{0{,}25}{\left[\log_{10}\!\left(\frac{k_s}{3{,}7D}+\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\right)\right]^2}.
Aqui:
  • k_s é a rugosidade absoluta (m).
  • D em metros.
  • \mathrm{Re} adimensional.
    Essa fórmula evita a iteração da equação de Colebrook e é aceitável em provas.

Passo 6

Resumo do algoritmo para aplicar na prova (passos numerados que você pode seguir rapidamente)
  1. Recebe Q (do seu número de matrícula).
  2. Calcula A = \pi D^2/4 e V = Q/A.
  3. Calcula \mathrm{Re} = V D/\nu com \nu=1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s}.
  4. Calcula \dfrac{k_s}{D} e depois f pela fórmula de Swamee–Jain acima.
  5. Calcula h_f = f (L/D) (V^2/(2g)).
  6. Calcula pressão gauge de saída:
p_{2,\text{gauge}} = \rho g (\Delta z - h_f).
  1. (Opcional) Pressão absoluta: p_{2,\text{abs}} = p_{2,\text{gauge}} + p_{\text{atm}}.

Passo 7

Cálculo numérico ilustrativo para o exemplo Q = 49\\ \mathrm{m^3/s} (mostro as contas com calma para você poder reproduzir na prova):
Dados usados neste exemplo:
Q = 49\\ \mathrm{m^3/s},\quad D = 5{,}0\\ \mathrm{m},\quad L=8000\\ \mathrm{m},
k_s = 1{,}5\times10^{-3}\\ \mathrm{m},\quad \nu = 1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s},
\rho = 1000\\ \mathrm{kg/m^3},\quad g = 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2},\quad \Delta z = 668\\ \mathrm{m}.
  1. Área e velocidade:
A = \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi(5{,}0)^2}{4} = \frac{25\pi}{4} \approx 19{,}63495\\ \mathrm{m^2}.
V = \frac{Q}{A} = \frac{49}{19{,}63495} \approx 2{,}497\\ \mathrm{m/s}.
  1. Número de Reynolds:
\mathrm{Re} = \frac{V D}{\nu} = \frac{2{,}497\times 5{,}0}{1{,}0\times10^{-6}} \approx 1{,}2485\times10^{7},
(escoamento claramente turbulento).
  1. Cálculo do fator de atrito f pela Swamee–Jain:
\frac{k_s}{3{,}7D} = \frac{1{,}5\times10^{-3}}{3{,}7\times 5{,}0} \approx 8{,}108\times10^{-5}.
\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}} \approx \frac{5{,}74}{(1{,}2485\times10^{7})^{0{,}9}} \approx 2{,}36\times10^{-6}.
Somando:
\frac{k_s}{3{,}7D}+\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}} \approx 8{,}3449\times10^{-5}.
Então
\log_{10}(\cdot) \approx \log_{10}(8{,}3449\times10^{-5}) \approx -4{,}079.
f \approx \frac{0{,}25}{(-4{,}079)^2} \approx 0{,}01502.
  1. Perda de carga por atrito h_f:
\frac{L}{D} = \frac{8000}{5} = 1600.
\frac{V^2}{2g} = \frac{(2{,}497)^2}{2\times9{,}81} \approx 0{,}3179\\ \mathrm{m}.
h_f = f\frac{L}{D}\frac{V^2}{2g} \approx 0{,}01502\times1600\times0{,}3179 \approx 7{,}65\\ \mathrm{m}.
  1. Pressão gauge na saída:
p_{2,\text{gauge}} = \rho g (\Delta z - h_f) = 1000\times9{,}81\times(668-7{,}65).
\Delta z - h_f = 668 - 7{,}65 = 660{,}35\\ \mathrm{m}.
p_{2,\text{gauge}} \approx 1000\times9{,}81\times660{,}35 \approx 6{,}478\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
Ou seja, aproximadamente 6{,}48\\ \mathrm{MPa} (pressão gauge). Em bar isso corresponde a cerca de 64{,}8\\ \text{bar} (lembre: 1\\ \text{bar}\approx10^5\\ \mathrm{Pa}). A pressão absoluta seria p_{2,\text{abs}}\approx 6{,}48\times10^6 + 1{,}01325\times10^5 \approx 6{,}58\times10^6\\ \mathrm{Pa} (se desejar somar a atmosfera).
Comentário didático: repare que a perda por atrito é pequena ( \sim 7{,}65\\ \mathrm{m}) frente à queda de cota de 668\\ \mathrm{m}; por isso a pressão final é quase \rho g\Delta z. Em tubos longos e diâmetros grandes a velocidade tende a ser moderada e, dependendo do Q, as perdas podem ser relativamente pequenas.

Passo 8

Como usar isso na prova (dicas práticas e verificações rápidas):
  • Sempre calcule A e V com calma; erro aí estraga tudo.
  • Verifique se \mathrm{Re} está em regime turbulento: se sim, use Swamee–Jain / Colebrook; se laminar ( \mathrm{Re}<2000), f=64/\mathrm{Re} (raro aqui).
  • Se o enunciado pedir pressão absoluta, some p_{\text{atm}}.
  • Se o enunciado der outra rugosidade k_s na tabela da prova, substitua imediatamente e recalcule f (a influência pode ser pequena ou moderada, dependendo de V e D).
  • Se quiser acelerar sem calculadora, faça aproximação: h_f\approx f(L/D)(V^2/(2g)) e use f típico entre 0{,}01 e 0{,}02 para tubos lisos com escoamento completamente turbulento.

Resposta

Não é possível calcular numericamente a pressão final porque a vazão Q (que depende dos dígitos da sua matrícula) não foi fornecida.

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