Questão 2. (3,0 pts) Uma tubulação, com 8 km de comprimento e 5 m de diâmetro, fornece água a uma estação de tratamento que está a 668 m abaixo da entrada da tubulação. Se a superfície do tubo for de concreto, encontre a pressão no final do tubo para uma vazão de:
Considere a vazão de acordo com sua matrícula: A vazão será composta por dois dígitos, o primeiro é o oitavo número da sua matrícula e o segundo é o último número de sua matrícula.
Ex.: Para a matrícula 2019022409 a vazão é
.
Obs: Utilize o menor valor de rugosidade disponível para o concreto.
Obs: Utilize o menor valor de rugosidade disponível para o concreto.
Passo 1
Primeiro vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (copiei os dados do enunciado):
- Comprimento da tubulação:
. - Diâmetro interno da tubulação:
. - Diferença de cota entre entrada e saída: a saída está
abaixo da entrada, então . - Material da superfície: concreto. O enunciado pede para usar o menor valor de rugosidade disponível para concreto (vou especificar o valor que escolhi quando necessário).
- A vazão volumétrica
não está explicitamente dada no enunciado texto que você enviou: ela depende de dois dígitos da sua matrícula (oitavo e último dígitos). Esses dígitos não foram informados aqui, portanto o valor de é desconhecido para mim. - O que se pede: encontrar a pressão no final do tubo para a vazão indicada pela matrícula.
Observação importante (motivação para a resolução): sem o valor numérico de
não é possível dar a pressão numérica final exigida, porque a perda de carga por atrito depende fortemente de
. Vou, portanto:
- Explicar passo a passo como calcular a pressão no final para qualquer
(fórmulas, procedimentos, interpretação). - Fazer um cálculo numérico ilustrativo usando o exemplo do enunciado modelo:
(esse valor aparece no exemplo; uso-o apenas como exemplo numérico para mostrar como proceder).
Se você me passar os dois dígitos da sua matrícula eu repito os cálculos com ocorreto e te passo só a resposta final.
Passo 2
Modelo físico e hipótese habitual (o que vamos assumir explicitamente):
- Considero que a entrada da tubulação se comunica com uma superfície livre à pressão atmosférica (caso típico: a tubulação parte de um reservatório aberto). Assim a pressão na entrada,
, é a pressão atmosférica; então posso calcular a pressão gauge (acima da atmosférica) na saída. Se preferir a pressão absoluta, basta somar . - Para perda por atrito usarei a equação de Darcy–Weisbach:
onde cada símbolo significa:
-
: perda de carga por atrito (em metros de coluna d’água). -
: fator de atrito adimensional (dependente de rugosidade e número de Reynolds). -
: comprimento da tubulação (m). -
: diâmetro interno (m). -
: velocidade média do escoamento (m/s). -
: aceleração da gravidade ( ). - A equação de energia entre entrada (ponto 1) e saída (ponto 2), desprezando perdas menores e máquinas, em forma simplificada dá:
onde
é a densidade da água (usarei
). A velocidade é a mesma (mesmo diâmetro), então termos cinéticos cancelam; rearranjando para pressão gauge na saída
obtemos:
com
. Ou seja, a pressão disponível na saída (sobre a atmosfera) é a energia potencial convertida em pressão menos as perdas por atrito.
Passo 3
Como obter
a partir de
(passo prático elementar):
- Área da seção transversal circular:
- Velocidade média:
Expliquei isso porque na prova é comum esquecer de transformar
em
antes de aplicar Darcy–Weisbach.
Passo 4
Número de Reynolds e regime de escoamento; viscosidade:
- O número de Reynolds é
onde
é a viscosidade cinemática da água. Usualmente toma-se
(água ~20 ºC).
- Se
for bem maior que o escoamento é turbulento; para a tubulação grande e vazões usuais será turbulento. Nesse caso o fator depende da razão rugosidade relativa e de .
Passo 5
Escolha da rugosidade do concreto e método prático para obter
:
- O enunciado diz: “Utilize o menor valor de rugosidade disponível para o concreto.” Vou adotar um valor típico de referência para concreto novo e bem acabado: rugosidade absoluta
(isto é ). Muitos compêndios listam para tubos de concreto valores entre e ; escolhi como menor valor razoável de catálogo comum. Se você tiver outra tabela, substitua pelo valor da sua tabela. - Para calcular
de modo prático e sem iteração use a fórmula explícita de Swamee–Jain (boa aproximação para regime turbulento):
Aqui:
-
é a rugosidade absoluta (m). -
em metros. -
adimensional.
Essa fórmula evita a iteração da equação de Colebrook e é aceitável em provas.
Passo 6
Resumo do algoritmo para aplicar na prova (passos numerados que você pode seguir rapidamente)
- Recebe
(do seu número de matrícula). - Calcula
e . - Calcula
com . - Calcula
e depois pela fórmula de Swamee–Jain acima. - Calcula
. - Calcula pressão gauge de saída:
- (Opcional) Pressão absoluta:
.
Passo 7
Cálculo numérico ilustrativo para o exemplo
(mostro as contas com calma para você poder reproduzir na prova):
Dados usados neste exemplo:
- Área e velocidade:
- Número de Reynolds:
(escoamento claramente turbulento).
- Cálculo do fator de atrito
pela Swamee–Jain:
Somando:
Então
- Perda de carga por atrito
:
- Pressão gauge na saída:
Ou seja, aproximadamente
(pressão gauge). Em bar isso corresponde a cerca de
(lembre:
). A pressão absoluta seria
(se desejar somar a atmosfera).
Comentário didático: repare que a perda por atrito é pequena (
) frente à queda de cota de
; por isso a pressão final é quase
. Em tubos longos e diâmetros grandes a velocidade tende a ser moderada e, dependendo do
, as perdas podem ser relativamente pequenas.
Passo 8
Como usar isso na prova (dicas práticas e verificações rápidas):
- Sempre calcule
e com calma; erro aí estraga tudo. - Verifique se
está em regime turbulento: se sim, use Swamee–Jain / Colebrook; se laminar ( ), (raro aqui). - Se o enunciado pedir pressão absoluta, some
. - Se o enunciado der outra rugosidade
na tabela da prova, substitua imediatamente e recalcule (a influência pode ser pequena ou moderada, dependendo de e ). - Se quiser acelerar sem calculadora, faça aproximação:
e use típico entre e para tubos lisos com escoamento completamente turbulento.
Resposta
Não é possível calcular numericamente a pressão final porque a vazão
(que depende dos dígitos da sua matrícula) não foi fornecida.