a) Encontre a solução geral da equação homogênea y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}=0.
( 25 pontos) b) Use o método dos coeficientes indeterminados para achar a solução particular da EDO y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}=2 x.
(5 pontos) c) Usando as letras anteriores escreva a solução geral da EDO não homogênea y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}=2 x.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO homogênea
y'' + 4y' = 0 (parte a), usar o método dos coeficientes indeterminados para achar uma solução particular de
y'' + 4y' = 2x (parte b) e, por fim, escrever a solução geral da EDO não homogênea (parte c).
O conteúdo envolve EDOs lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e método de coeficientes indeterminados.

Passo 2

Para a parte (a) resolvemos a equação homogênea
y'' + 4y' = 0.
A equação característica é
r^2 + 4r = 0 \implies r(r+4)=0,
logo r_1=0 e r_2=-4. Assim a solução geral homogênea é
y_h(x) = C_1 e^{0x} + C_2 e^{-4x} = C_1 + C_2 e^{-4x}.

Passo 3

Para a parte (b) buscamos uma solução particular de
y'' + 4y' = 2x.
Como o termo não homogêneo é um polinômio de grau 1, tentamos inicialmente
y_p = Ax + B.
Então
y_p' = A,\quad y_p'' = 0,
e
y_p'' + 4y_p' = 4A,
que não gera termo em x. Elevamos o grau e propomos
y_p = Ax^2 + Bx + C.
Calculamos
y_p' = 2Ax + B,\quad y_p'' = 2A,
e substituímos:
y_p'' + 4y_p' = 2A + 4(2Ax + B) = 8Ax + (2A + 4B).
Comparando com 2x, obtemos
8A = 2,\quad 2A + 4B = 0
de onde
A = \tfrac14,\quad B = -\tfrac18.
O termo C não aparece na EDO e pode ser absorvido em y_h, logo escolhemos C=0.
Assim
y_p(x) = \frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{8}x.

Passo 4

Para a parte (c) somamos a solução homogênea e a particular, obtendo
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1 + C_2 e^{-4x} + \frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{8}x.

Resposta

(a) y_h(x) = C_1 + C_2 e^{-4x}.
(b) y_p(x) = \tfrac{1}{4}x^2 - \tfrac{1}{8}x.
(c) y(x) = C_1 + C_2 e^{-4x} + \tfrac{1}{4}x^2 - \tfrac{1}{8}x.

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