O eixo maciço engastado está submetido a um momento de torção, sob um torque T de 1.000N.m. Sabendo que o diâmetro d = 25cm, L = 100cm e o módulo de elasticidade transversal G de 10MPa. Determine o valor da tensão de cisalhamento máxima e o ângulo de rotação.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um eixo maciço que está fixo em uma das extremidades (engastado) e está sofrendo uma torção devido a um torque $ T = 1000 , N.m $. As dimensões fornecidas são: diâmetro $ d = 25 , cm $, comprimento $ L = 100 , cm $ e o módulo de elasticidade transversal $ G = 10 , MPa $. Nosso objetivo é encontrar duas coisas: a tensão de cisalhamento máxima e o ângulo de rotação desse eixo. Para resolver isso, vamos precisar usar fórmulas de torção em eixos circulares maciços.
Passo 2
Primeiro, vamos converter todas as unidades para o sistema internacional para facilitar os cálculos. O diâmetro $ d = 25 , cm = 0,25 , m $ e o comprimento $ L = 100 , cm = 1 , m $. O módulo de elasticidade transversal $ G = 10 , MPa = 10 \times 10^6 , N/m^2 $.
Passo 3
Para encontrar a tensão de cisalhamento máxima ($ \tau_{max} $), usamos a fórmula da torção:
Onde:
- $ T $ é o torque aplicado.
- $ c $ é o raio do eixo.
- $ J $ é o momento polar de inércia da seção transversal.
Passo 4
Primeiro, calculamos o raio $ c $:
Passo 5
Agora, calculamos o momento polar de inércia $ J $ para um eixo circular:
Substituindo $ d = 0,25 , m $:
Passo 6
Agora, aplicamos os valores na fórmula da tensão de cisalhamento máxima:
Convertendo para megapascals:
Passo 7
Agora, vamos calcular o ângulo de rotação ($ \theta $). Usamos a fórmula:
Onde:
- $ T $ é o torque.
- $ L $ é o comprimento do eixo.
- $ J $ é o momento polar de inércia.
- $ G $ é o módulo de elasticidade transversal.
Passo 8
Substituindo os valores:
Para converter para graus:
Resposta
A tensão de cisalhamento máxima é aproximadamente $ 0,326 , MPa $ e o ângulo de rotação do eixo é de aproximadamente $ 14,95^\circ $.