O eixo maciço engastado está submetido a um momento de torção, sob um torque T de 1.000N.m. Sabendo que o diâmetro d = 25cm, L = 100cm e o módulo de elasticidade transversal G de 10MPa. Determine o valor da tensão de cisalhamento máxima e o ângulo de rotação.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um eixo maciço que está fixo em uma das extremidades (engastado) e está sofrendo uma torção devido a um torque $ T = 1000 , N.m $. As dimensões fornecidas são: diâmetro $ d = 25 , cm $, comprimento $ L = 100 , cm $ e o módulo de elasticidade transversal $ G = 10 , MPa $. Nosso objetivo é encontrar duas coisas: a tensão de cisalhamento máxima e o ângulo de rotação desse eixo. Para resolver isso, vamos precisar usar fórmulas de torção em eixos circulares maciços.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para o sistema internacional para facilitar os cálculos. O diâmetro $ d = 25 , cm = 0,25 , m $ e o comprimento $ L = 100 , cm = 1 , m $. O módulo de elasticidade transversal $ G = 10 , MPa = 10 \times 10^6 , N/m^2 $.

Passo 3

Para encontrar a tensão de cisalhamento máxima ($ \tau_{max} $), usamos a fórmula da torção:
taumax
Onde:
  • $ T $ é o torque aplicado.
  • $ c $ é o raio do eixo.
  • $ J $ é o momento polar de inércia da seção transversal.

Passo 4

Primeiro, calculamos o raio $ c $:
c

Passo 5

Agora, calculamos o momento polar de inércia $ J $ para um eixo circular:
J
Substituindo $ d = 0,25 , m $:
J = pi cdot d^432

Passo 6

Agora, aplicamos os valores na fórmula da tensão de cisalhamento máxima:
taumax = 1000 , Nm cdot 0,125 , m0,000383 , m^4 approx 1250,000383 approx 325651,9 , N/m^2
Convertendo para megapascals:
taumax approx 0,326 , MPa

Passo 7

Agora, vamos calcular o ângulo de rotação ($ \theta $). Usamos a fórmula:
theta
Onde:
  • $ T $ é o torque.
  • $ L $ é o comprimento do eixo.
  • $ J $ é o momento polar de inércia.
  • $ G $ é o módulo de elasticidade transversal.

Passo 8

Substituindo os valores:
theta = 1000 , Nm cdot 1 , m0,000383 , m^4 cdot 10 times 10^6 , N/m^2 = 10003830 approx 0,261 , radianos
Para converter para graus:
theta approx 0,261 , rad times 180pi approx 14,95^circ

Resposta

A tensão de cisalhamento máxima é aproximadamente $ 0,326 , MPa $ e o ângulo de rotação do eixo é de aproximadamente $ 14,95^\circ $.

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