Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas. Sendo retiradas aleatoriamente 2 peças, calcule:
a) a probabilidade de ambas serem defeituosas;
b) a probabilidade de ambas não serem defeituosas;
c) a probabilidade de ao menos uma ser defeituosa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre probabilidade em um lote de 12 peças, onde 4 são defeituosas. A gente vai calcular três probabilidades diferentes ao retirar 2 peças aleatoriamente:
a) Ambas as peças são defeituosas.
b) Ambas as peças não são defeituosas.
c) Pelo menos uma peça é defeituosa.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinações e probabilidade. Precisamos saber como calcular combinações para entender todas as possíveis maneiras de escolher as peças.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quantas maneiras diferentes podemos escolher 2 peças de um total de 12. Isso é calculado usando a combinação:
C(n, k) = n!k!(n - k)!
Onde:
  • $ n $ é o total de peças (12)
  • $ k $ é o número de peças que queremos escolher (2)
Então,
n
Então, temos 66 maneiras diferentes de escolher 2 peças.

Passo 3

Parte a: Probabilidade de ambas serem defeituosas.
Temos 4 peças defeituosas. Queremos saber de quantas maneiras podemos escolher 2 peças defeituosas dessas 4.
Usando a combinação novamente:
C(4, 2) = 4!2!(4 - 2)! = 4 times 32 times 1 = 6
Agora, a probabilidade é o número de maneiras favoráveis dividido pelo total de maneiras:
P(ambas defeituosas) = 666 = 111 approx 0,0909 ou 9,09%

Passo 4

Parte b: Probabilidade de ambas não serem defeituosas.
Se temos 4 peças defeituosas em 12, então temos 8 peças que não são defeituosas.
Queremos saber de quantas maneiras podemos escolher 2 peças não defeituosas dessas 8.
Usando a combinação:
C(8, 2) = 8!2!(8 - 2)! = 8 times 72 times 1 = 28
Então, a probabilidade é:
P(ambas não defeituosas) = 2866 = 1433 approx 0,4242 ou 42,42% ã

Passo 5

Parte c: Probabilidade de ao menos uma ser defeituosa.
Essa parte pode ser resolvida de duas formas: ou calculamos diretamente as maneiras com pelo menos uma defeituosa ou usamos o complemento, que já calculamos na parte b.
Usando o complemento:
P(ao menos uma defeituosa) = 1 - P(ambas não defeituosas) = 1 - 1433 = 1933 approx 0,5758 ou 57,58% ã

Resposta

a) $ \approx 9,09% $
b) $ \approx 42,42% $
c) $ \approx 57,58% $

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