No eixo E os pontos A e B têm, respectivamente, coordenadas 3 e 17. Determine a coordenada do ponto médio do segmento \overline{A B} e a coordenada do ponto B^{\prime}, simétrico de B em relação a A.

Passo 1

O enunciado dá as coordenadas dos pontos no eixo E:
  • A tem coordenada 3.
  • B tem coordenada 17.
O problema pede:
  • Determinar a coordenada do ponto médio do segmento \overline{AB}.
  • Determinar a coordenada do ponto B', simétrico de B em relação a A.

Passo 2

Definição e fórmula do ponto médio em uma reta: o ponto médio M de um segmento cujas extremidades têm coordenadas x_A e x_B tem coordenada igual à média aritmética dos extremos. Em fórmulas,
x_M=\frac{x_A+x_B}{2},
onde x_A é a coordenada de A, x_B a coordenada de B e x_M a coordenada do ponto médio M.
Derivação rápida (para entender por que é a média): o ponto M está equidistante de A e B, ou seja x_M-x_A=x_B-x_M. Somando x_M dos dois lados obtemos 2x_M=x_A+x_B e daí vem a fórmula acima.

Passo 3

Aplicando a fórmula com os números dados ( x_A=\!3 e x_B=\!17):
x_M=\frac{3+17}{2}=\frac{20}{2}=10.
Portanto a coordenada do ponto médio do segmento \overline{AB} é 10.

Passo 4

Definição e fórmula do ponto simétrico: o ponto B', simétrico de B em relação a A, é tal que A é o ponto médio de BB'. Em termos de coordenadas,
x_A=\frac{x_B+x_{B'}}{2}.
Despejando x_{B'} da equação obtemos a fórmula prática
x_{B'}=2x_A-x_B,
onde x_{B'} é a coordenada procurada.

Passo 5

Aplicando a fórmula com x_A=\!3 e x_B=\!17:
x_{B'}=2\cdot 3-17=6-17=-11.
Como verificação rápida: a distância |x_B-x_A|=|17-3|=14 e |x_{B'}-x_A|=|-11-3|=|-14|=14, ou seja B e B' estão à mesma distância de A em lados opostos — é coerente com a simetria.

Passo 6

Resumo intuitivo: o ponto médio fica em 10, exatamente no centro entre 3 e 17. O ponto simétrico de B em relação a A é obtido “refletindo” B em A, o que dá a coordenada -11. Força aí — essa conta de média e reflexão é bem útil e cai direto em prova!

Resposta

10
-11

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