(1.5) A equação da onda em uma dimensão é dada por
partial^2 upartial x^2-k partial^2 upartial t^2=0
Em relação à equação acima são feitas três afirmações. Determine se cada uma delas é verdadeira ou falsa, não há necessidade de justificativa.
a) A solução geral é dada por u=f(x+v t)+f(x-v t). F
b) A velocidade da onda é obtida pela relação v=1 / raizk. V
c) Sem condições de contorno, as soluções periódicas admitem qualquer frequência.

Passo 1

O enunciado dá a equação da onda unidimensional
partial^2upartial x^2 ;-; k,partial^2upartial t^2 ;=; 0
e pede para julgar três afirmações sobre a solução geral (fórmula de D’Alembert), a velocidade de propagação e a liberdade de frequências em ausência de condições de contorno.

Passo 2

Afirmação (a): “A solução geral é dada por u = f(x+vt) + f(x-vt).”
A forma correta envolve duas funções independentes, digamos f e g:
u(x,t) = f(x+vt) + g(x-vt)
Logo, a afirmação está falsa.

Passo 3

Afirmação (b): “A velocidade da onda é obtida pela relação v = 1/raizk.”
Comparando com a forma padrão partialx^2u = tfrac1v^2partialt^2u, obtemos
k = 1v^2 Longrightarrow v = 1raizk,
portanto está verdadeira.

Passo 4

Afirmação (c): “Sem condições de contorno, as soluções periódicas admitem qualquer frequência.”
De fato, sem restrições em x ou t, podemos montar ondas cos(omega t - kx) com omega arbitrária, então está verdadeira.

Resposta

a) F
b) V
c) V

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