1. Os eixos y e z sofrem uma rotação de um ângulo theta=pi / 4, no plano y z, enquanto o eixo x permanece fixo. Determine as coordenadas dos pontos P(1,2, raiz2) e Q(3, raiz2,-1) no novo sistema de coordenadas. ( resp.: P(1,1+raiz2, 1-raiz2) ; e Q(3,1-raiz22, 1-raiz22))

Passo 1

O enunciado nos dá os pontos P(1,2,raiz2) e Q(3,raiz2,-1) e pede as coordenadas desses pontos no sistema obtido ao rotacionar os eixos y e z de um ângulo theta=pi/4 no plano yz, mantendo o eixo x fixo. O conteúdo aqui é transformação de coordenadas por rotação de eixos.

Passo 2

Ao rotacionar os eixos em torno de Ox de um ângulo theta, as coordenadas (x,y,z) de um ponto passam a ser, no novo sistema,
x' = x, y' = ycostheta + zsintheta, z' = -,ysintheta + zcostheta
Neste caso cos(pi/4)=sin(pi/4)=raiz2/2.

Passo 3

Para P(1,2,raiz2):
y'P = 2cdotraiz22 + raiz2cdotraiz22 = raiz2 + 1,
z'P = -,2cdotraiz22 + raiz2cdotraiz22 = -raiz2 + 1 = 1 - raiz2
Logo
P' = l(1,;1+raiz2,;1-raiz2r)

Passo 4

Para Q(3,raiz2,-1):
y'Q = raiz2cdotraiz22 + (-1)cdotraiz22 = 1 - raiz22,
z'Q = -,raiz2cdotraiz22 + (-1)cdotraiz22 = -1 - raiz22
Portanto
Q' = l(3,;1-tfracraiz22,;-1-tfracraiz22r)

Resposta

P' = l(1,,1+raiz2,,1-raiz2r)
Q' = l(3,,1-tfracraiz22,,-1-tfracraiz22r)

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