Mostre que a imagem de um operador linear contínuo não precisa ser fechada.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, mesmo sendo linear e contínuo, um operador entre espaços de Banach pode ter imagem não fechada. Vamos usar o espaço (sequências quadrado–somáveis) e construir um operador cuja imagem seja densa em um subespaço mas não o contem por completo.
Passo 2
Definimos o operador
Claramente é linear. Vamos verificar que é contínuo.
Passo 3
Para qualquer temos
Logo |T|<=1 e T é contínuo.
Passo 4
A imagem de T é
ImT =ly=(yn)inell^2 :;(n,yn)n=1^inftyinell^2r
Queremos mostrar que esse conjunto não é fechado em ell^2.
Passo 5
Considere o vetor limite
Note que
portanto [y\in\ell^2). Contudo , ou seja .
Por outro lado, defina as aproximações de suporte finito
Cada , pois basta tomar
e . Além disso
logo em .
Passo 6
Concluímos que existem pontos de ell^2 (como y) que são limite de sequências em ImT mas não pertencem a ImT. Portanto ImT não é fechado em ell^2.
Resposta
Exibimos o operador
Tl((xn)r)=(x1/1,x2/2,x3/3,dots)
em ell^2, que é linear e contínuo, mas cuja imagem não é fechada.