Mostre que a imagem de um operador linear contínuo não precisa ser fechada.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, mesmo sendo linear e contínuo, um operador entre espaços de Banach pode ter imagem não fechada. Vamos usar o espaço ell^2 (sequências quadrado–somáveis) e construir um operador cuja imagem seja densa em um subespaço mas não o contem por completo.

Passo 2

Definimos o operador
T:ell^2toell^2, Tl((xn)n=1^inftyr) = l(tfracx11,,tfracx22,,tfracx33,dotsr)
Claramente T é linear. Vamos verificar que é contínuo.

Passo 3

Para qualquer x=(xn)inell^2 temos
|T(x)|ell^2^2 =sumn=1^inftyl|tfracxnnr|^2 <=sumn=1^infty|xn|^2 =|x|ell^2^2
Logo |T|<=1 e T é contínuo.

Passo 4

A imagem de T é
ImT =ly=(yn)inell^2 :;(n,yn)n=1^inftyinell^2r
Queremos mostrar que esse conjunto não é fechado em ell^2.

Passo 5

Considere o vetor limite
Note que
portanto [y\in\ell^2). Contudo , ou seja .
Por outro lado, defina as aproximações de suporte finito
Cada , pois basta tomar
e . Além disso
logo em .

Passo 6

Concluímos que existem pontos de ell^2 (como y) que são limite de sequências em ImT mas não pertencem a ImT. Portanto ImT não é fechado em ell^2.

Resposta

Exibimos o operador
Tl((xn)r)=(x1/1,x2/2,x3/3,dots)
em ell^2, que é linear e contínuo, mas cuja imagem não é fechada.

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