Se , é imediato da continuidade de que é fechado em (por que?). Mostre que a recíproca é falsa exibindo uma aplicação linear
descontínua de núcleo fechado. Sugestão: Pense em alguma aplicação injetora descontínua.
Passo 1
O enunciado trata de operadores lineares entre espaços normados e . Ele afirma que, se é linear e contínuo, então
é fechado em . O motivo é que é fechado em e toda aplicação contínua leva conjuntos fechados em a conjuntos fechados em pelo inverso da imagem.
Passo 2
Para ver com calma: como é contínua e é fechado, temos
é fechado em . Em análise, uma aplicação contínua preserva a propriedade de ser fechado ao tomarmos pré-imagem de qualquer conjunto fechado.
Passo 3
Agora precisamos dar um exemplo que mostre que a recíproca é falsa, isto é, uma aplicação linear cujo núcleo seja fechado mas que seja descontínua. A ideia é pegar um espaço de dimensão infinita e inflar componentes de maneira não limitada. Seja
com a norma usual . Definimos por
Claramente é linear e, como implica para todo , segue para todo . Logo
que é fechado.
Passo 4
Para ver que é descontínua, basta notar que a norma de não é limitada por nenhum constante. Tomando a base canônica com na -ésima posição, temos mas
Não existe M tal que |T(x)|<= M|x| para todo x, ou seja, T é linear mas não contínua.
Resposta
Como exemplo de operador linear descontínuo com núcleo fechado, podemos escolher
Tcolon ell^2 to ell^2, T((xn)) = (n,xn)
Aqui ker T=0 é fechado, mas T não é contínuo porque |T(en)|2=ntoinfty.