Se T in L(X, Y), é imediato da continuidade de T que ker T=T^-1(0) é fechado em X (por que?). Mostre que a recíproca é falsa exibindo uma aplicação linear
descontínua de núcleo fechado. Sugestão: Pense em alguma aplicação injetora descontínua.

Passo 1

O enunciado trata de operadores lineares entre espaços normados X e Y. Ele afirma que, se Tcolon Xto Y é linear e contínuo, então
ker T ;=; T^-1(0)
é fechado em X. O motivo é que 0 é fechado em Y e toda aplicação contínua leva conjuntos fechados em Y a conjuntos fechados em X pelo inverso da imagem.

Passo 2

Para ver com calma: como T é contínua e 0subset Y é fechado, temos
ker T ;=; T^-1(0)
é fechado em X. Em análise, uma aplicação contínua preserva a propriedade de ser fechado ao tomarmos pré-imagem de qualquer conjunto fechado.

Passo 3

Agora precisamos dar um exemplo que mostre que a recíproca é falsa, isto é, uma aplicação linear T cujo núcleo seja fechado mas que seja descontínua. A ideia é pegar um espaço de dimensão infinita e inflar componentes de maneira não limitada. Seja
X = ell^2 = l(xn)n=1^infty : sumn=1^infty |xn|^2<inftyr,
com a norma usual |(xn)|2=(sum|xn|^2)^1/2. Definimos Tcolon ell^2toell^2 por
Tl((xn)r) = (n,xn)n=1^infty
Claramente T é linear e, como T(x)=0 implica n,xn=0 para todo n, segue xn=0 para todo n. Logo
ker T=0,
que é fechado.

Passo 4

Para ver que T é descontínua, basta notar que a norma de T não é limitada por nenhum constante. Tomando a base canônica en=(0,dots,0,1,0,dots) com 1 na n-ésima posição, temos |en|2=1 mas
l|T(en)r|2 ;=;|(0,dots,0,n,0,dots)|2 ;=; n;xrightarrow[ntoinfty];infty
Não existe M tal que |T(x)|<= M|x| para todo x, ou seja, T é linear mas não contínua.

Resposta

Como exemplo de operador linear descontínuo com núcleo fechado, podemos escolher
Tcolon ell^2 to ell^2, T((xn)) = (n,xn)
Aqui ker T=0 é fechado, mas T não é contínuo porque |T(en)|2=ntoinfty.

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