(a) Mostre que se X é um espaço normado de dimensão infinita e Y neq0, então existe uma aplicação linear de X em Y descontínua. Sugestão: Use uma base algébrica de X e construa uma aplicação linear não limitada
(b) Conclua que se X é um espaço normado de dimensão infinita então X^* neq X^#.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas. Primeiro, sejam X um espaço normado de dimensão infinita e Yneq0; mostre que existe uma aplicação linear Tcolon Xto Y que não seja contínua. Em segundo lugar, conclua que, para tal X, o dual contínuo X^* (formado pelos funcionais contínuos) difere do dual algébrico X^# (formado por todos os funcionais lineares).
Conteúdo usado: construção de base de Hamel, extensão de aplicação linear, caráter de continuidade via operador limitado.

Passo 2

Como dim X=infty, podemos escolher recursivamente uma sequência xnn=1^inftysubset X onde cada xn+1 não pertence ao subespaço gerado por x1,dots,xn. Defina então
en = xn|xn|,
de modo que |en|=1 e os en permanecem linearmente independentes. Agora estenda en a uma base de Hamel
B = en : ninN,cup,C
onde C é algum complemento (possivelmente infinito).

Passo 3

Escolha um vetor fixo não-nulo yin Y. Defina Tcolon Bto Y por
T(en) = n,y, n=1,2,dots e T(c) = 0forall cin C
Depois estenda T por linearidade a todo X: se
x=sumi=1^k alphai vi,
com cada viin B, ponha
T(x)=sumi=1^k alphai,T(vi)

Passo 4

É imediato que T é linear por construção. Para ver que T não é contínua, basta notar que cada en tem norma |en|=1 e
|T(en)|=|n,y|=n,|y|xrightarrow[ntoinfty]+infty
Isto implica
sup|x|<=1|T(x)|;>=;supn|T(en)| ;=;+infty,
ou seja, T não é limitado e portanto não é contínuo.

Passo 5

Como acabamos de exibir um funcional linear (ou aplicação em Y) que é descontínuo, segue que existem elementos de X^# que não pertencem a X^*. Em particular, tomando Y=K (o corpo escalar), obtemos um funcional linear em X que não é contínuo. Logo
X^* ;subsetneq; X^#
e portanto X^*neq X^#.

Resposta

(a) Constrói-se em uma base de Hamel uma aplicação linear T com T(en)=n,y (para uma sequência de vetores unitários en) e T nula no resto da base; então |T(en)|toinfty, logo T é descontínua.
(b) Assim existe funcional linear não contínuo em X, de modo que X^*neq X^#.

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