(a) Mostre que se é um espaço normado de dimensão infinita e , então existe uma aplicação linear de em descontínua. Sugestão: Use uma base algébrica de e construa uma aplicação linear não limitada
(b) Conclua que se é um espaço normado de dimensão infinita então .
Passo 1
O enunciado pede duas coisas. Primeiro, sejam um espaço normado de dimensão infinita e ; mostre que existe uma aplicação linear que não seja contínua. Em segundo lugar, conclua que, para tal , o dual contínuo (formado pelos funcionais contínuos) difere do dual algébrico (formado por todos os funcionais lineares).
Conteúdo usado: construção de base de Hamel, extensão de aplicação linear, caráter de continuidade via operador limitado.
Passo 2
Como , podemos escolher recursivamente uma sequência onde cada não pertence ao subespaço gerado por . Defina então
de modo que e os permanecem linearmente independentes. Agora estenda a uma base de Hamel
onde é algum complemento (possivelmente infinito).
Passo 3
Escolha um vetor fixo não-nulo . Defina por
Depois estenda por linearidade a todo : se
com cada , ponha
Passo 4
É imediato que é linear por construção. Para ver que não é contínua, basta notar que cada tem norma e
Isto implica
sup|x|<=1|T(x)|;>=;supn|T(en)| ;=;+infty,
ou seja, T não é limitado e portanto não é contínuo.
Passo 5
Como acabamos de exibir um funcional linear (ou aplicação em Y) que é descontínuo, segue que existem elementos de X^# que não pertencem a X^*. Em particular, tomando Y=K (o corpo escalar), obtemos um funcional linear em X que não é contínuo. Logo
X^* ;subsetneq; X^#
e portanto X^*neq X^#.
Resposta
(a) Constrói-se em uma base de Hamel uma aplicação linear T com T(en)=n,y (para uma sequência de vetores unitários en) e T nula no resto da base; então |T(en)|toinfty, logo T é descontínua.
(b) Assim existe funcional linear não contínuo em X, de modo que X^*neq X^#.