Ejercicio 11: Una placa de acero cuadrada de 1 m por lado y 1 cm de espesor está expuesta a la luz solar y absorbe un flujo solar de
. La parte inferior de la placa está aislada, los bordes se mantienen a
mediante abrazaderas enfriadas por agua y la cara expuesta se enfría con un coeficiente de convección de
a una temperatura ambiente de
. La placa está pulida para minimizar la radiación. Determine la distribución de temperatura en la placa utilizando un espaciamiento nodal de 20 cm . La conductividad térmica del acero es
.
Passo 1
Temos uma placa fina de aço de
,m e espessura
,m. Recebe fluxo solar uniforme
,W/
na face superior, a face inferior está isolada e as quatro bordas (perímetro) mantêm-se a
C. A face exposta ao sol perde calor por convecção com coeficiente
,W/
K para o ar a
C. A condutividade térmica é
,W/mK.
Conteúdo: condução bidimensional com geração equivalente e convecção superficial. Vamos tratar a placa como elemento fino (temperatura uniforme através da espessura) e usar o método das diferenças finitas num malha quadrada de passo ,m.
Conteúdo: condução bidimensional com geração equivalente e convecção superficial. Vamos tratar a placa como elemento fino (temperatura uniforme através da espessura) e usar o método das diferenças finitas num malha quadrada de passo
Passo 2
Equilíbrio energético de um nó interno (espessura
, área de célula
):
Dividindo por
e usando
,m, obtemos
Numericamente,
logo
Passo 3
Malha
de nós em
.
- Nas bordas
, , , fixamos C. - Os nós internos (16 nós) obedecem à fórmula acima.
Como as condições são simétricas em torno dee , os 16 valores interiores reduzem-se a 4 desconhecidos exclusivos no quarto inferior-esquerdo:
com espelhamento para os outros.
Passo 4
Escrevendo a equação
em cada um:
Para em
:
;
Para
Para
em
: vizinhos
Para
em
: vizinhos
Para
em
: vizinhos
Passo 5
Das quatro equações e
obtemos para
:
Substituindo
e
na equação de
dá
Logo
Passo 6
Reconstruindo todos os 16 nós internos por simetria e incluindo as bordas a
C, formamos a matriz
de temperaturas (linhas em
; colunas em
):
|
|
0,0 | 0,2 | 0,4 | 0,6 | 0,8 | 1,0 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1,0 | 20 | 20 | 20 | 20 | 20 | 20 |
| 0,8 | 20 | 48 | 55 | 55 | 48 | 20 |
| 0,6 | 20 | 55 | 62 | 62 | 55 | 20 |
| 0,4 | 20 | 55 | 62 | 62 | 55 | 20 |
| 0,2 | 20 | 48 | 55 | 55 | 48 | 20 |
| 0,0 | 20 | 20 | 20 | 20 | 20 | 20 |
Resposta
A distribuição nodal de temperatura (em °C) na placa é dada pela tabela acima.