A equação de Euler-Bernoulli descreve a flexão (na direção y ) de uma barra maciça paralela ao eixo x de densidade \rho, elasticidade E, momento de inércia I e área da seção transversal A.
\rho A \frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}}+E I \frac{\partial^{4} y}{\partial x^{4}}=0
Adimensionalize essa equação (dica, utilize o comprimento da barra e a frequência de vibração como parâmetros). Se você quiser reproduzir o experimento com um modelo de barra com (1 / 10) do comprimento da viga utilizada, como a frequência de vibração ou a seção transversal do modelo poderiam ser ajustadas?

Passo 1

O enunciado dá a equação de Euler–Bernoulli para a deflexão y(x,t) de uma viga de comprimento L, densidade \rho, módulo de elasticidade E, momento de inércia da seção I e área da seção A:
\rho A \frac{\partial^{2}y}{\partial t^{2}} + E I \frac{\partial^{4}y}{\partial x^{4}} = 0.
Vamos adimensionalizar usando
X = \frac{x}{L}, \quad T = \omega\,t, \quad Y(X,T)=\frac{y(x,t)}{y_0},
onde \omega é uma frequência característica (a ser determinada) e y_0 uma amplitude de escala.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais em termos de (X,T). Note que
\frac{\partial}{\partial x} = \frac{1}{L}\frac{\partial}{\partial X}, \quad \frac{\partial}{\partial t} = \omega\,\frac{\partial}{\partial T}.
Logo
\frac{\partial^{2}y}{\partial t^{2}} = y_0\,\omega^2\,\frac{\partial^{2}Y}{\partial T^{2}}, \quad \frac{\partial^{4}y}{\partial x^{4}} = \frac{y_0}{L^4}\,\frac{\partial^{4}Y}{\partial X^{4}}.

Passo 3

Substituindo na equação original obtemos
\rho A \bigl(y_0\,\omega^2\,\partial^2_T Y\bigr) + E I \Bigl(\frac{y_0}{L^4}\,\partial^4_X Y\Bigr) =0.
Dividindo por \rho A\,y_0\,\omega^2 resulta
\partial^2_T Y + \frac{E I}{\rho A\,L^4\,\omega^2}\,\partial^4_X Y =0.

Passo 4

Para eliminar o parâmetro adimensional, escolhemos
\omega^2 = \frac{E I}{\rho A\,L^4}.
Com isso a equação adimensional fica
\partial^2_T Y + \partial^4_X Y = 0.

Passo 5

Da escolha acima segue a lei de escala da frequência natural
\omega = \sqrt{\frac{E I}{\rho A\,L^4}}, \quad f = \frac{\omega}{2\pi} \sim L^{-2}\,\sqrt{\frac{E I}{\rho A}}.

Passo 6

Suponha agora um modelo de viga com L_{\rm m} = \tfrac{1}{10}L.
  1. Se mantivermos a mesma seção transversal ( I/A constante), então
\omega_{\rm m} = \sqrt{\frac{E I}{\rho A\,L_{\rm m}^4}} = \omega\bigl(\tfrac{L}{L_{\rm m}}\bigr)^2 = \omega\,(10)^2 =100\,\omega.
Ou seja, f_{\rm m}=100\,f.

Passo 7

  1. Se quisermos que o modelo vibre à mesma frequência \omega_{\rm m}=\omega, precisamos ajustar a seção de modo que
\frac{I_{\rm m}}{A_{\rm m}} = \frac{\rho A\,L_{\rm m}^4}{E} \;\Big/\;\frac{\rho A\,L^4}{E} = \bigl(\tfrac{L_{\rm m}}{L}\bigr)^4 = \frac{1}{10^4}.
Para uma seção geométrica similar, I/A\sim(\text{dimensão linear})^2ã, logo a dimensão linear da seção deve ser \tfrac{1}{100} da original, fazendo
A_{\rm m}\sim\frac{1}{10^4}A, \quad I_{\rm m}\sim\frac{1}{10^8}I.

Resposta

– A equação adimensional é
\partial^2_T Y + \partial^4_X Y = 0
com \omega^2=EI/(\rho A L^4).
– Para L_{\rm m}=L/10, mantendo a mesma seção, a frequência do modelo aumenta em 100 vezes f_{\rm m}=100\,f.
– Para manter f_{\rm m}=f, a seção deve ser reduzida de modo que suas dimensões lineares sejam 1/100 da original (portanto A_{\rm m}=A/10^4 e I_{\rm m}=I/10^8).

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