A equação de Euler-Bernoulli descreve a flexão (na direção
) de uma barra maciça paralela ao eixo
de densidade
, elasticidade
, momento de inércia
e área da seção transversal
.
Adimensionalize essa equação (dica, utilize o comprimento da barra e a frequência de vibração como parâmetros). Se você quiser reproduzir o experimento com um modelo de barra com
do comprimento da viga utilizada, como a frequência de vibração ou a seção transversal do modelo poderiam ser ajustadas?
Passo 1
O enunciado dá a equação de Euler–Bernoulli para a deflexão
de uma viga de comprimento
, densidade
, módulo de elasticidade
, momento de inércia da seção
e área da seção
:
Vamos adimensionalizar usando
onde
é uma frequência característica (a ser determinada) e
uma amplitude de escala.
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais em termos de
. Note que
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Passo 3
Substituindo na equação original obtemos
Dividindo por
resulta
Passo 4
Para eliminar o parâmetro adimensional, escolhemos
Com isso a equação adimensional fica
Passo 5
Da escolha acima segue a lei de escala da frequência natural
Passo 6
Suponha agora um modelo de viga com
.
- Se mantivermos a mesma seção transversal (
constante), então
Ou seja,
.
Passo 7
- Se quisermos que o modelo vibre à mesma frequência
, precisamos ajustar a seção de modo que
Para uma seção geométrica similar,
, logo a dimensão linear da seção deve ser
da original, fazendo
Resposta
– A equação adimensional é
com
.
– Para , mantendo a mesma seção, a frequência do modelo aumenta em
vezes
.
– Para manter , a seção deve ser reduzida de modo que suas dimensões lineares sejam
da original (portanto
e
).
– Para
– Para manter