Um aparelho capta água de um reservatório que entra a velocidade de 1,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e fornece energia para o fluido de modo que ele seja expelido por uma abertura localizada 2,0 \mathrm{~m} acima do ponto em que a água é captada e a velocidade de 5,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Sabendo que a vazão mássica é \dot{m}=2,0 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}, que o escoamento é permanente, que a temperatura do fluido não se altera no processo e que o aparelho recebe uma potência de \dot{W}=100 W para funcionar, qual a quantidade de calor por segundo expelida pela máquina durante o processo?

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo
O aparelho capta água de um reservatório com velocidade de entrada v_{\rm in}=1{,}0\\ \mathrm{m/s} e eleva o escoamento até z_{\rm out}-z_{\rm in}=2{,}0\\ \mathrm{m}, expelindo-o com velocidade v_{\rm out}=5{,}0\\ \mathrm{m/s}. A vazão mássica é \dot{m}=2{,}0\\ \mathrm{kg/s}. O escoamento é permanente e isotérmico \Delta h=0. O aparelho recebe potência W_{\rm in}=100\\ \mathrm{W} para funcionar. Queremos determinar a taxa de calor por segundo expelida \dot Q pela máquina. O conteúdo utilizado será a primeira lei da termodinâmica para sistema aberto em regime permanente.

Passo 2

Variação de entalpia
Como a temperatura do fluido não se altera, a variação de entalpia é nula:
\Delta h = 0.

Passo 3

Cálculo das variações de energia cinética e potencial por segundo
A variação de energia cinética por unidade de tempo é
\dot E_{\rm cin} = \dot m\,\frac{v_{\rm out}^2 - v_{\rm in}^2}{2} = 2{,}0\;\frac{5{,}0^2 - 1{,}0^2}{2} = 2{,}0\;\frac{25 - 1}{2} = 24\\ \mathrm{W}.
A variação de energia potencial por segundo é
\dot E_{\rm pot} = \dot m\,g\,(z_{\rm out}-z_{\rm in}) = 2{,}0\cdot 9{,}8\cdot 2{,}0 = 39{,}2\\ \mathrm{W}.

Passo 4

Balanço de energia em regime permanente
Para o sistema aberto, em regime permanente, valem
0 = \dot Q + W_{\rm in} + \dot E_{\rm cin} + \dot E_{\rm pot}.
Isolando \dot Q e substituindo W_{\rm in}=100\\ \mathrm{W}, \dot E_{\rm cin}=24\\ \mathrm{W} e \dot E_{\rm pot}=39{,}2\\ \mathrm{W}:
\dot Q = -\bigl(W_{\rm in} + \dot E_{\rm cin} + \dot E_{\rm pot}\bigr) = -\bigl(100 + 24 + 39{,}2\bigr)\\ \mathrm{W} = -163{,}2\\ \mathrm{W}.
Como \dot Q ficou negativo, isso significa que a máquina rejeita calor. A magnitude do calor expelido é
|\dot Q| = 163{,}2\\ \mathrm{W}.

Resposta

A máquina expele 163{,}2\\ \mathrm{W} de calor.

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