(a) Use a definição de área da superfície (6) para determinar a área da superfície com equação vetorial
\mathbf{r}(u, v)=u \cos v \mathbf{i}+u \operatorname{sen} v \mathbf{j}+c u \mathbf{k}
0 \leq u \leq h, 0 \leq v \leq 2 \pi.
(b) Identifique a superfície na parte (a) eliminando os parâmetros e determine a área da superfície usando a Equação 9.

Passo 1

O enunciado pede em (a) a área de uma superfície paramétrica dada por
\mathbf{r}(u,v)=u\cos v\,\mathbf{i}+u\sin v\,\mathbf{j}+c\,u\,\mathbf{k},
com 0\le u\le h, 0\le v\le2\pi, usando a definição
\text{Área}=\iint_D\bigl\lVert\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\bigr\rVert\,du\,dv.Á
Em (b) devemos reconhecer a mesma superfície eliminando u,v e usar a fórmula de área de gráfico z=f(x,y):
\text{Área}=\iint_R\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\,dA.Á

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
\mathbf{r}_u=\bigl(\cos v,\;\sin v,\;c\bigr), \qquad \mathbf{r}_v=\bigl(-u\sin v,\;u\cos v,\;0\bigr).

Passo 3

O produto vetorial é
\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v =\bigl(-c\,u\cos v,\;-c\,u\sin v,\;u\bigr),
cujo módulo vale
\bigl\lVert\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\bigr\rVert =\sqrt{c^2u^2\cos^2v+c^2u^2\sin^2v+u^2} = u\sqrt{1+c^2}.

Passo 4

Substituindo na integral de área:
\text{Área} =\int_{v=0}^{2\pi}\!\int_{u=0}^{h}u\sqrt{1+c^2}\,du\,dv =\sqrt{1+c^2}\,\Bigl(\int_{0}^{2\pi}dv\Bigr)\Bigl(\int_{0}^{h}u\,du\Bigr) =2\pi\sqrt{1+c^2}\,\frac{h^2}{2}.Á

Passo 5

Portanto, a resposta de (a) é
\text{Área}=\pi\,h^2\sqrt{1+c^2}.Á

Passo 6

Para (b), eliminamos os parâmetros:
x=u\cos v,\quad y=u\sin v\implies u=\sqrt{x^2+y^2},
e z=cu
z=c\sqrt{x^2+y^2}.
É um cone reto de vértice na origem e raio da base h.

Passo 7

Usamos a fórmula de área de gráfico z=f(x,y) sobre o disco R:\,x^2+y^2\le h^2:
\text{Área}=\iint_R\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\,dA.Á

Passo 8

Calculamos
f_x=c\,\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},\quad f_y=c\,\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}
e vemos que
1+f_x^2+f_y^2=1+c^2.
Logo,
\text{Área} =\sqrt{1+c^2}\,\iint_RdA =\sqrt{1+c^2}\,(\pi h^2).Á

Passo 9

Obtemos o mesmo resultado de (a).

Resposta

(a) \displaystyle \pi\,h^2\sqrt{1+c^2}.
(b) \displaystyle \pi\,h^2\sqrt{1+c^2}.

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