Uma empresa produz bombas hidráulicas industriais. A demanda anual é dada por:
Q=500-2 P
onde P é o preço em milhares de reais.
(a) Calcule a elasticidade-preço da demanda quando P=100.
(b) Classifique a demanda como elástica ou inelástica nesse ponto.
(c) Discuta o que isso implica para o poder de mercado da firma.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados do enunciado:
A função demanda anual é Q=500-2P.
P é o preço, medido em milhares de reais.
O enunciado pede:
(a) Calcular a elasticidade-preço da demanda quando P=100.
(b) Classificar a demanda como elástica ou inelástica nesse ponto.
(c) Discutir o que isso implica para o poder de mercado da firma.
Passo 2
Definição e fórmula que vamos usar (explicadinha, passo a passo).
Elasticidade-preço da demanda (no ponto) mede a variação percentual da quantidade demandada quando o preço varia 1\%. A fórmula do ponto é
E_{p}=\frac{dQ}{dP}\cdot\frac{P}{Q}.
O que cada coisa significa:
\dfrac{dQ}{dP} é a derivada de Q em relação a P: representa a inclinação da curva de demanda (quanto a quantidade muda por unidade de preço).
P é o preço no ponto onde se avalia a elasticidade.
Q é a quantidade demandada no mesmo ponto.
Interpretação prática:
Se |E_{p}|>1 a demanda é elástica (quantidade reage mais que proporcionalmente ao preço).
Se |E_{p}|<1 a demanda é inelástica (quantidade reage menos que proporcionalmente).
O sinal normalmente será negativo para demandas descendentes; muitas vezes usa-se |E_{p}| para classificar.
Passo 3
Calcular a derivada \dfrac{dQ}{dP} para a função dada.
A função é Q=500-2P. Essa é uma função linear em P.
A derivada em relação a P é a inclinação da reta:
\frac{dQ}{dP}=-2.
Interpretação: se o preço aumentar em uma unidade (uma unidade de P, aqui uma unidade significa mil reais), a quantidade diminui em 2 unidades (duas bombas por ano, supondo unidades de Q).
Passo 4
Calcular a quantidade Q no ponto pedido P=100.
Substituindo P=100 na demanda:
Q=500-2\cdot 100=500-200=300.
Observação sobre unidades: P=100 significa 100 (isto é, 100 milhares de reais = 100\,000 reais), mas para os cálculos da elasticidade usamos o valor numérico P=100 tal como dado; as unidades cancelam na razão P/Q.
Classificação e interpretação do valor encontrado.
Sinal: E_{p}=-\tfrac{2}{3} tem sinal negativo, o que é esperado para uma curva de demanda decrescente (preço maior → quantidade menor).
Magnitude: |E_{p}|=\tfrac{2}{3}\approx0{,}6667<1. Portanto a demanda é inelástica no ponto P=100.
Regra prática lembrando para a prova: calcule \dfrac{dQ}{dP}, avalie Q no preço pedido, e aplique \dfrac{dQ}{dP}\cdot \dfrac{P}{Q}; compare |E_{p}| com 1.
Passo 7
O que isso implica para receita total e poder de mercado (discussão didática).
Receita total TR é TR=P\cdot Q. Para saber se aumentar o preço aumenta ou diminui a receita, calcule a derivada:
Interpretação: como \dfrac{dTR}{dP}>0, aumentar P aumenta a receita total naquele ponto. Isso é consistente com a elasticidade inelástica: quando |E_{p}|<1, um aumento percentual do preço reduz a quantidade em menor percentual, de modo que a receita total sobe.
Implicação sobre poder de mercado:
Uma demanda inelástica no ponto indica que os compradores não reduzem muito a quantidade diante de aumentos de preço, portanto a firma tem margem para elevar o preço e aumentar a receita — isto é um sinal de algum poder de mercado (não é preço-tomadora perfeita).
Observação importante: aumento de receita não garante aumento de lucro; o efeito sobre lucro depende também do custo marginal (MC). Se elevar o preço reduz quantidade de modo que a receita adicional não compense custos marginalmente mais altos, o lucro pode cair. Mas, ceteris paribus, demanda inelástica dá espaço para aumentar preço e receita.
Dica rápida de prova: relacionar elasticidade com dTR/dP é uma maneira segura de justificar consequências práticas.
Passo 8
Resumo prático (como fazer rápido na prova)
Passos diretos:
Ache \dfrac{dQ}{dP}.
Calcule Q no P pedido.
Use E_{p}=\dfrac{dQ}{dP}\cdot\dfrac{P}{Q}.
Compare |E_{p}| com 1 para classificar, e use dTR/dP=Q+P\,dQ/dP para ver se subir o preço aumenta receita.
Força: com pouco cálculo (derivada simples e substituição) resolve-se a questão.
Resposta
(a) E_{p}=-\dfrac{2}{3}\approx -0{,}6667
(b) A demanda é inelástica nesse ponto (|E_{p}|<1).
(c) Implica que, naquele ponto, um aumento do preço aumenta a receita total — isto indica que a firma tem algum poder de mercado para elevar preços sem perder muita quantidade; contudo o efeito final sobre lucro depende também do custo marginal.