1. Elasticidade-preço em demanda industrial
Uma empresa produz bombas hidráulicas industriais. A demanda anual é dada por:
Q=500-2 P
onde P é o preço em milhares de reais.
(a) Calcule a elasticidade-preço da demanda quando P=100.
(b) Classifique a demanda como elástica ou inelástica nesse ponto.
(c) Discuta o que isso implica para o poder de mercado da firma.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados do enunciado:
    • A função demanda anual é Q=500-2P.
    • P é o preço, medido em milhares de reais.
  • O enunciado pede:
    • (a) Calcular a elasticidade-preço da demanda quando P=100.
    • (b) Classificar a demanda como elástica ou inelástica nesse ponto.
    • (c) Discutir o que isso implica para o poder de mercado da firma.

Passo 2

Definição e fórmula que vamos usar (explicadinha, passo a passo).
  • Elasticidade-preço da demanda (no ponto) mede a variação percentual da quantidade demandada quando o preço varia 1\%. A fórmula do ponto é
E_{p}=\frac{dQ}{dP}\cdot\frac{P}{Q}.
  • O que cada coisa significa:
    • \dfrac{dQ}{dP} é a derivada de Q em relação a P: representa a inclinação da curva de demanda (quanto a quantidade muda por unidade de preço).
    • P é o preço no ponto onde se avalia a elasticidade.
    • Q é a quantidade demandada no mesmo ponto.
  • Interpretação prática:
    • Se |E_{p}|>1 a demanda é elástica (quantidade reage mais que proporcionalmente ao preço).
    • Se |E_{p}|<1 a demanda é inelástica (quantidade reage menos que proporcionalmente).
    • O sinal normalmente será negativo para demandas descendentes; muitas vezes usa-se |E_{p}| para classificar.

Passo 3

Calcular a derivada \dfrac{dQ}{dP} para a função dada.
  • A função é Q=500-2P. Essa é uma função linear em P.
  • A derivada em relação a P é a inclinação da reta:
\frac{dQ}{dP}=-2.
  • Interpretação: se o preço aumentar em uma unidade (uma unidade de P, aqui uma unidade significa mil reais), a quantidade diminui em 2 unidades (duas bombas por ano, supondo unidades de Q).

Passo 4

Calcular a quantidade Q no ponto pedido P=100.
  • Substituindo P=100 na demanda:
Q=500-2\cdot 100=500-200=300.
  • Observação sobre unidades: P=100 significa 100 (isto é, 100 milhares de reais = 100\,000 reais), mas para os cálculos da elasticidade usamos o valor numérico P=100 tal como dado; as unidades cancelam na razão P/Q.

Passo 5

Aplicar a fórmula da elasticidade ponto a ponto.
  • Usando \dfrac{dQ}{dP}=-2, P=100 e Q=300:
E_{p}=\frac{dQ}{dP}\cdot\frac{P}{Q} = (-2)\cdot\frac{100}{300}.
  • Calcule:
E_{p}=(-2)\cdot\frac{100}{300}=(-2)\cdot\frac{1}{3}=-\frac{2}{3}\approx -0{,}6667.

Passo 6

Classificação e interpretação do valor encontrado.
  • Sinal: E_{p}=-\tfrac{2}{3} tem sinal negativo, o que é esperado para uma curva de demanda decrescente (preço maior → quantidade menor).
  • Magnitude: |E_{p}|=\tfrac{2}{3}\approx0{,}6667<1. Portanto a demanda é inelástica no ponto P=100.
  • Regra prática lembrando para a prova: calcule \dfrac{dQ}{dP}, avalie Q no preço pedido, e aplique \dfrac{dQ}{dP}\cdot \dfrac{P}{Q}; compare |E_{p}| com 1.

Passo 7

O que isso implica para receita total e poder de mercado (discussão didática).
  • Receita total TR é TR=P\cdot Q. Para saber se aumentar o preço aumenta ou diminui a receita, calcule a derivada:
\frac{dTR}{dP}=Q+P\frac{dQ}{dP}.
  • Avaliando no ponto:
\frac{dTR}{dP}\Big|_{P=100}=300 + 100\cdot(-2)=300-200=100>0.
  • Interpretação: como \dfrac{dTR}{dP}>0, aumentar P aumenta a receita total naquele ponto. Isso é consistente com a elasticidade inelástica: quando |E_{p}|<1, um aumento percentual do preço reduz a quantidade em menor percentual, de modo que a receita total sobe.
  • Implicação sobre poder de mercado:
    • Uma demanda inelástica no ponto indica que os compradores não reduzem muito a quantidade diante de aumentos de preço, portanto a firma tem margem para elevar o preço e aumentar a receita — isto é um sinal de algum poder de mercado (não é preço-tomadora perfeita).
    • Observação importante: aumento de receita não garante aumento de lucro; o efeito sobre lucro depende também do custo marginal ( MC). Se elevar o preço reduz quantidade de modo que a receita adicional não compense custos marginalmente mais altos, o lucro pode cair. Mas, ceteris paribus, demanda inelástica dá espaço para aumentar preço e receita.
  • Dica rápida de prova: relacionar elasticidade com dTR/dP é uma maneira segura de justificar consequências práticas.

Passo 8

Resumo prático (como fazer rápido na prova)
  • Passos diretos:
    1. Ache \dfrac{dQ}{dP}.
    2. Calcule Q no P pedido.
    3. Use E_{p}=\dfrac{dQ}{dP}\cdot\dfrac{P}{Q}.
    4. Compare |E_{p}| com 1 para classificar, e use dTR/dP=Q+P\,dQ/dP para ver se subir o preço aumenta receita.
  • Força: com pouco cálculo (derivada simples e substituição) resolve-se a questão.

Resposta

(a) E_{p}=-\dfrac{2}{3}\approx -0{,}6667
(b) A demanda é inelástica nesse ponto ( |E_{p}|<1).
(c) Implica que, naquele ponto, um aumento do preço aumenta a receita total — isto indica que a firma tem algum poder de mercado para elevar preços sem perder muita quantidade; contudo o efeito final sobre lucro depende também do custo marginal.

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