1. Elasticidade-preço e receita
Uma empresa de software de otimização logística vende licenças por assinatura. A demanda é dada por:
Q=1000-5 P
(a) Calcule a elasticidade-preço quando P=120.
(b) Se a empresa aumentar o preço nesse ponto, a receita total tende a aumentar ou diminuir?
(c) Explique a relação entre elasticidade e receita total.

Passo 1

O enunciado fornece a função demanda e pede três coisas. Informações dadas:
  • A demanda é \displaystyle Q = 1000 - 5P.
  • O ponto onde devemos avaliar é P = 120.
O que o enunciado pede:
  1. (a) Calcular a elasticidade-preço da demanda quando P = 120.
  2. (b) Dizer se, nesse ponto, um aumento de preço tende a aumentar ou diminuir a receita total.
  3. (c) Explicar a relação entre elasticidade e receita total.

Passo 2

Definição e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • A elasticidade-preço da demanda em um ponto mede a sensibilidade da quantidade demandada a variações no preço, isto é, a variação percentual de Q resultante de uma variação percentual de P.
  • A fórmula da elasticidade-preço ponto a ponto é
\varepsilon \;=\; \frac{dQ}{dP}\cdot\frac{P}{Q}.
Aqui:
  • \varepsilon é a elasticidade-preço da demanda (geralmente negativa para demanda normal).
  • dQ/dP é a derivada da função demanda em relação a P (a inclinação da curva demanda).
  • P é o preço no qual estamos avaliando.
  • Q é a quantidade demandada correspondente a esse P.
Intuição rápida: \varepsilon é um produto entre a inclinação (taxa absoluta de variação de Q por P) e a razão P/Q que converte essa taxa absoluta numa taxa relativa (percentual).

Passo 3

Calcular a derivada dQ/dP e a quantidade Q em P=120:
  • A função é linear \displaystyle Q(P)=1000-5P. Assim
\frac{dQ}{dP} = -5,
porque para cada aumento unitário em P a quantidade cai em 5 unidades.
  • Avaliando a quantidade em P=120:
Q(120)=1000-5\cdot 120.
Calcule passo a passo:
5\cdot 120 = 600, \qquad 1000-600 = 400.
Portanto \displaystyle Q(120)=400.

Passo 4

Calcular a elasticidade em P=120 substituindo na fórmula:
\varepsilon = \frac{dQ}{dP}\cdot\frac{P}{Q} = (-5)\cdot\frac{120}{400}.
Calcule:
\frac{120}{400} = 0,3, \qquad (-5)\cdot 0,3 = -1,5.
Logo \displaystyle \varepsilon = -1,5. Interpretação: o valor absoluto é 1,5>1, ou seja, a demanda é elástica nesse ponto (uma mudança percentual no preço provoca uma mudança percentual maior, em sentido contrário, na quantidade).

Passo 5

Determinar efeito sobre a receita total usando duas maneiras (confere e ensina como aplicar na prova).
Método 1 — derivada da receita:
  • Receita total é \displaystyle R(P)=P\cdot Q(P)=P(1000-5P)=1000P-5P^2.
  • Derivando em relação a P:
\frac{dR}{dP}=1000-10P.
  • Avaliando em P=120:
\frac{dR}{dP}\Big|_{P=120}=1000-10\cdot 120=1000-1200=-200.
Como \frac{dR}{dP}<0, um pequeno aumento de P reduz a receita total naquele ponto.
Método 2 — usando elasticidade (fórmula útil e elegante para provas):
  • Partindo de R(P)=P\cdot Q(P), pela regra do produto:
\frac{dR}{dP}=Q + P\frac{dQ}{dP}.
Reescrevendo com a definição de elasticidade \varepsilon = \frac{dQ}{dP}\cdot\frac{P}{Q}, tem-se P\frac{dQ}{dP}=\varepsilon Q. Então:
\frac{dR}{dP}=Q+\varepsilon Q = Q(1+\varepsilon).
  • No ponto P=120 temos Q=400 e \varepsilon=-1,5, então
\frac{dR}{dP}=400(1-1,5)=400(-0,5)=-200,
mesmo resultado. Como \frac{dR}{dP}<0, aumentar o preço diminui a receita.

Passo 6

Regra geral e interpretação (o que decorar e por quê):
  • Se \varepsilon<-1 (demanda elástica): |\varepsilon|>1. Aumentar P reduz a receita total; diminuir P aumenta a receita total.
  • Se \varepsilon>-1 e \varepsilon<0 (demanda inelástica): |\varepsilon|<1. Aumentar P aumenta a receita total; diminuir P reduz a receita.
  • Se \varepsilon=-1 (elasticidade unitária): a receita total está no máximo local; pequenas variações de P não alteram a receita no primeiro ordem.
Intuição simples: quando a demanda é elástica, a queda percentual na quantidade vendida é maior que o aumento percentual do preço, então a receita (preço×quantidade) cai. Quando é inelástica, a quantidade cai pouco comparada ao aumento do preço, então a receita sobe.

Resposta

(a) \varepsilon = -1,5
(b) A receita total tende a diminuir.
(c) Se \varepsilon<-1 (demanda elástica) um aumento de P reduz R; se \varepsilon>-1 (demanda inelástica) um aumento de P aumenta R; se \varepsilon=-1 a receita total está no máximo.

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