Uma área de manutenção pode contratar dois serviços substitutos: x_{1} (equipe A ) e x_{2} (equipe B ). A qualidade entregue é agregada por
U\left(x_{1}, x_{2}\right)=x_{1}+x_{2}
medida em “horas-equivalentes de serviço”. Deseja-se atingir \bar{U}=200 horasequivalentes ao menor custo. As tarifas são p_{1}=\mathrm{R} \ 150,00 / \mathrm{h} ep_{2}=\mathrm{R} $220,00 / \mathrm{h}$.
(a) Formule e resolva o problema de minimização de despesa \min _{x_{1}, x_{2} \geq 0}\left\{p_{1} x_{1}+\right. \left.p_{2} x_{2}: x_{1}+x_{2} \geq \bar{U}\right\}.
(b) Derive a demanda Hicksiana h(p, \bar{U})=\left(h_{1}, h_{2}\right).
(c) Calcule h_{1}, h_{2} e o custo mínimo e(p, \bar{U}) com os valores fornecidos (em \mathrm{R} \$ ).
(d) Interprete economicamente (escolha do serviço mais barato) e ilustre com iso-despesas e indiferença compensada.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as ações abaixo.
  • Função qualidade agregada (utilidade): U(x_{1},x_{2})=x_{1}+x_{2} (horas-equivalentes).
  • Meta de qualidade: \bar{U}=200 horas-equivalentes.
  • Preços: p_{1}=\mathrm{R}\$\,150,00/\mathrm{h} (equipe A) e p_{2}=\mathrm{R}\$\,220,00/\mathrm{h} (equipe B).
  • Restrições: x_{1}\ge 0,\; x_{2}\ge 0 e deve satisfazer x_{1}+x_{2}\ge \bar{U}.
O enunciado pede:
(a) Formular e resolver o problema de minimização de despesa \min_{x_{1},x_{2}\ge0}\{p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}:\; x_{1}+x_{2}\ge\bar{U}\}.
(b) Derivar a demanda Hicksiana h(p,\bar{U})=(h_{1},h_{2}) (isto é, a solução do problema de (a) em função de p e \bar{U}).
(c) Calcular h_{1},h_{2} e o custo mínimo e(p,\bar{U}) com os valores numéricos dados.
(d) Interpretar economicamente (escolha do serviço mais barato) e ilustrar com iso-despesas e indiferenças compensadas (descrever graficamente).

Passo 2

Por que a restrição será uma igualdade no ponto ótimo?
  • Intuição: estamos minimizando custo e cada x_{i} custa algo positivo. Se em uma solução tivermos x_{1}+x_{2}>\bar{U}, então é possível reduzir algum x_{i} mantendo a restrição satisfeita até que x_{1}+x_{2}=\bar{U}, diminuindo o custo. Logo, gastar mais do que o necessário nunca minimiza custo.
  • Conclusão formal: no ótimo vale x_{1}+x_{2}=\bar{U}.
Portanto podemos substituir x_{2}=\bar{U}-x_{1} e resolver em uma variável com a fronteira 0\le x_{1}\le\bar{U}.

Passo 3

Formular a função custo reduzida em x_{1} (substituição da igualdade):
C(x_{1})=p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}=p_{1}x_{1}+p_{2}(\bar{U}-x_{1}).
Colocando em forma simplificada como função linear de x_{1}:
C(x_{1})=p_{2}\bar{U}+(p_{1}-p_{2})x_{1}.
Agora o problema é minimizar C(x_{1}) em x_{1}\in[0,\bar{U}]. Como C(x_{1}) é linear em x_{1}, o mínimo ocorre em uma das extremidades do intervalo, dependendo do sinal de p_{1}-p_{2}.

Passo 4

Analisar os três casos possíveis para comparar p_{1} e p_{2}.
  • Caso 1: p_{1}<p_{2}. Então p_{1}-p_{2}<0 e C(x_{1}) decresce com x_{1}. O mínimo em [0,\bar{U}] ocorre em x_{1}=\bar{U}. Então x_{2}=0.
  • Caso 2: p_{1}>p_{2}. Então p_{1}-p_{2}>0 e C(x_{1}) cresce com x_{1}. O mínimo ocorre em x_{1}=0. Então x_{2}=\bar{U}.
  • Caso 3: p_{1}=p_{2}. Então C(x_{1})=p_{1}\bar{U} para todo x_{1}\in[0,\bar{U}]. Qualquer combinação com x_{1}+x_{2}=\bar{U} e x_{i}\ge0 atinge o mínimo (múltiplas soluções).
Esses resultados formam precisamente a demanda Hicksiana compensada: gastar o mínimo para alcançar \bar{U}.

Passo 5

Escrever a demanda Hicksiana [h(p,\bar{U})) em forma compacta (peça a peça) e derivar a função custo mínima e(p,\bar{U}).
  • Demanda Hicksiana (peça a peça):
h(p,\bar{U})=\begin{cases} (h_{1},h_{2})=(\bar{U},0), & \text{se } p_{1}<p_{2},\\[4pt] (h_{1},h_{2})=(0,\bar{U}), & \text{se } p_{1}>p_{2},\\[4pt] (h_{1},h_{2})=(t,\bar{U}-t)\\ \text{qualquer }t\in[0,\bar{U}], & \text{se } p_{1}=p_{2}. \end{cases}
  • Função custo mínima (valor da despesa mínima):
Substituindo o óptimo na expressão do custo dá
e(p,\bar{U})=p_{1}h_{1}+p_{2}h_{2}=\min\{p_{1},p_{2}\}\,\bar{U}.
Isto é intuitivo: o custo mínimo é o preço por unidade do serviço mais barato multiplicado pela quantidade necessária (\bar{U}].]

Passo 6

Agora aplicar os números dados: p_{1}=\mathrm{R}\$\,150,00,\; p_{2}=\mathrm{R}\$\,220,00,\; \bar{U}=200.
  • Comparação de preços: p_{1}<p_{2} (150 < 220), logo estamos no Caso 1 da análise.
  • Portanto a demanda Hicksiana numérica é h_{1}=\bar{U}=200 e h_{2}=0.
  • Cálculo do custo mínimo:
e(p,\bar{U})=p_{1}\bar{U}=150\times 200=30.000.
Escrevendo em reais: e(p,\bar{U})=\mathrm{R}\$\,30.000,00.

Passo 7

Interpretação econômica e ilustração gráfica (descrita):
  • Interpretação: as duas equipes são perfeitas substitutas (utilidade x_{1}+x_{2}). Para produzir uma unidade de “hora-equivalente” só importa a soma. Portanto, ao minimizar custo para uma dada quantidade, a área contrata integralmente o serviço mais barato por hora. No caso numérico, contrata toda a demanda com a equipe A ( x_{1}=200), porque p_{1}=150 é menor que p_{2}=220.
  • Caso de empate ( p_{1}=p_{2}): qualquer combinação ao longo da reta x_{1}+x_{2}=\bar{U} custa o mesmo e é ótima.
  • Gráfico (como imaginar):
    • Curvas de indiferença compensada (níveis de U) são retas x_{2}=\bar{U}-x_{1}: linhas com declive -1 (45 graus).
    • Iso-despesa (linhas de custo) são retas p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}=C, que podem ser escritas como x_{2}=C/p_{2}-(p_{1}/p_{2})x_{1}; o declive é -p_{1}/p_{2}.
    • A solução minimizadora é o ponto onde a iso-despesa mais baixa que alcança a indiferença x_{1}+x_{2}=\bar{U} toca essa reta. Para p_{1}<p_{2}, a iso-despesa é mais “plana” (declive em valor absoluto menor que 1), de modo que o ponto de tangência viável é o eixo x_{1} (canto), dando x_{1}=\bar{U},x_{2}=0.

Resposta

(a) \displaystyle (x_{1},x_{2})=\begin{cases}(\bar{U},0),&\text{se }p_{1}<p_{2},\\[4pt](0,\bar{U}),&\text{se }p_{1}>p_{2},\\[4pt](t,\bar{U}-t)\\ \text{qualquer }t\in[0,\bar{U}],&\text{se }p_{1}=p_{2}.\end{cases}
(b) \displaystyle h(p,\bar{U})=\begin{cases}(\bar{U},0),&\text{se }p_{1}<p_{2},\\[4pt](0,\bar{U}),&\text{se }p_{1}>p_{2},\\[4pt](t,\bar{U}-t),\\ t\in[0,\bar{U}],&\text{se }p_{1}=p_{2}.\end{cases}
(c) \displaystyle h_{1}=200,\quad h_{2}=0,\quad e(p,\bar{U})=\mathrm{R}\$\,30.000,00.
(d) Interpretação: como as equipes são perfeitas substitutas, a área contrata somente o serviço mais barato por hora; aqui escolhe-se totalmente a equipe A ( p_{1}=150<p_{2}=220). Iso-despesas são retas de declive -p_{1}/p_{2} e indiferenças compensadas são retas de declive -1; a solução é um canto (todo do bem mais barato).]

Exercícios relacionados