Uma área de manutenção pode contratar dois serviços substitutos: x_{1} (equipe A ) e x_{2} (equipe B ). A qualidade entregue é agregada por
U\left(x_{1}, x_{2}\right)=x_{1}+x_{2}
medida em “horas-equivalentes de serviço”. Deseja-se atingir \bar{U}=200 horasequivalentes ao menor custo. As tarifas são p_{1}=\mathrm{R} \ 150,00 / \mathrm{h}ep_{2}=\mathrm{R} $220,00 / \mathrm{h}$.
(a) Formule e resolva o problema de minimização de despesa \min _{x_{1}, x_{2} \geq 0}\left\{p_{1} x_{1}+\right. \left.p_{2} x_{2}: x_{1}+x_{2} \geq \bar{U}\right\}.
(b) Derive a demanda Hicksiana h(p, \bar{U})=\left(h_{1}, h_{2}\right).
(c) Calcule h_{1}, h_{2} e o custo mínimo e(p, \bar{U}) com os valores fornecidos (em \mathrm{R} \$ ).
(d) Interprete economicamente (escolha do serviço mais barato) e ilustre com iso-despesas e indiferença compensada.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede as ações abaixo.
Meta de qualidade: \bar{U}=200 horas-equivalentes.
Preços: p_{1}=\mathrm{R}\$\,150,00/\mathrm{h} (equipe A) e p_{2}=\mathrm{R}\$\,220,00/\mathrm{h} (equipe B).
Restrições: x_{1}\ge 0,\; x_{2}\ge 0 e deve satisfazer x_{1}+x_{2}\ge \bar{U}.
O enunciado pede:
(a) Formular e resolver o problema de minimização de despesa \min_{x_{1},x_{2}\ge0}\{p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}:\; x_{1}+x_{2}\ge\bar{U}\}.
(b) Derivar a demanda Hicksiana h(p,\bar{U})=(h_{1},h_{2}) (isto é, a solução do problema de (a) em função de p e \bar{U}).
(c) Calcular h_{1},h_{2} e o custo mínimo e(p,\bar{U}) com os valores numéricos dados.
(d) Interpretar economicamente (escolha do serviço mais barato) e ilustrar com iso-despesas e indiferenças compensadas (descrever graficamente).
Passo 2
Por que a restrição será uma igualdade no ponto ótimo?
Intuição: estamos minimizando custo e cada x_{i} custa algo positivo. Se em uma solução tivermos x_{1}+x_{2}>\bar{U}, então é possível reduzir algum x_{i} mantendo a restrição satisfeita até que x_{1}+x_{2}=\bar{U}, diminuindo o custo. Logo, gastar mais do que o necessário nunca minimiza custo.
Conclusão formal: no ótimo vale x_{1}+x_{2}=\bar{U}.
Portanto podemos substituir x_{2}=\bar{U}-x_{1} e resolver em uma variável com a fronteira 0\le x_{1}\le\bar{U}.
Passo 3
Formular a função custo reduzida em x_{1} (substituição da igualdade):
Colocando em forma simplificada como função linear de x_{1}:
C(x_{1})=p_{2}\bar{U}+(p_{1}-p_{2})x_{1}.
Agora o problema é minimizar C(x_{1}) em x_{1}\in[0,\bar{U}]. Como C(x_{1}) é linear em x_{1}, o mínimo ocorre em uma das extremidades do intervalo, dependendo do sinal de p_{1}-p_{2}.
Passo 4
Analisar os três casos possíveis para comparar p_{1} e p_{2}.
Caso 1: p_{1}<p_{2}. Então p_{1}-p_{2}<0 e C(x_{1}) decresce com x_{1}. O mínimo em [0,\bar{U}] ocorre em x_{1}=\bar{U}. Então x_{2}=0.
Caso 2: p_{1}>p_{2}. Então p_{1}-p_{2}>0 e C(x_{1}) cresce com x_{1}. O mínimo ocorre em x_{1}=0. Então x_{2}=\bar{U}.
Caso 3: p_{1}=p_{2}. Então C(x_{1})=p_{1}\bar{U} para todo x_{1}\in[0,\bar{U}]. Qualquer combinação com x_{1}+x_{2}=\bar{U} e x_{i}\ge0 atinge o mínimo (múltiplas soluções).
Esses resultados formam precisamente a demanda Hicksiana compensada: gastar o mínimo para alcançar \bar{U}.
Passo 5
Escrever a demanda Hicksiana [h(p,\bar{U})) em forma compacta (peça a peça) e derivar a função custo mínima e(p,\bar{U}).
Isto é intuitivo: o custo mínimo é o preço por unidade do serviço mais barato multiplicado pela quantidade necessária (\bar{U}].]
Passo 6
Agora aplicar os números dados: p_{1}=\mathrm{R}\$\,150,00,\; p_{2}=\mathrm{R}\$\,220,00,\; \bar{U}=200.
Comparação de preços: p_{1}<p_{2} (150 < 220), logo estamos no Caso 1 da análise.
Portanto a demanda Hicksiana numérica é h_{1}=\bar{U}=200 e h_{2}=0.
Cálculo do custo mínimo:
e(p,\bar{U})=p_{1}\bar{U}=150\times 200=30.000.
Escrevendo em reais: e(p,\bar{U})=\mathrm{R}\$\,30.000,00.
Passo 7
Interpretação econômica e ilustração gráfica (descrita):
Interpretação: as duas equipes são perfeitas substitutas (utilidade x_{1}+x_{2}). Para produzir uma unidade de “hora-equivalente” só importa a soma. Portanto, ao minimizar custo para uma dada quantidade, a área contrata integralmente o serviço mais barato por hora. No caso numérico, contrata toda a demanda com a equipe A (x_{1}=200), porque p_{1}=150 é menor que p_{2}=220.
Caso de empate (p_{1}=p_{2}): qualquer combinação ao longo da reta x_{1}+x_{2}=\bar{U} custa o mesmo e é ótima.
Gráfico (como imaginar):
Curvas de indiferença compensada (níveis de U) são retas x_{2}=\bar{U}-x_{1}: linhas com declive -1 (45 graus).
Iso-despesa (linhas de custo) são retas p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}=C, que podem ser escritas como x_{2}=C/p_{2}-(p_{1}/p_{2})x_{1}; o declive é -p_{1}/p_{2}.
A solução minimizadora é o ponto onde a iso-despesa mais baixa que alcança a indiferença x_{1}+x_{2}=\bar{U} toca essa reta. Para p_{1}<p_{2}, a iso-despesa é mais “plana” (declive em valor absoluto menor que 1), de modo que o ponto de tangência viável é o eixo x_{1} (canto), dando x_{1}=\bar{U},x_{2}=0.
(d) Interpretação: como as equipes são perfeitas substitutas, a área contrata somente o serviço mais barato por hora; aqui escolhe-se totalmente a equipe A (p_{1}=150<p_{2}=220). Iso-despesas são retas de declive -p_{1}/p_{2} e indiferenças compensadas são retas de declive -1; a solução é um canto (todo do bem mais barato).]