Uma fábrica usa x_{1} (hora de máquina CNC ) e x_{2} (hora de setup/metrologia) com preferências Cobb-Douglas
U\left(x_{1}, x_{2}\right)=x_{1}^{0,5} x_{2}^{0,5}
Inicialmente, p_{1}=\mathrm{R} \ 100,00 / \mathrm{h}, p_{2}=\mathrm{R} $100,00 / \mathrm{h} e o orçamento éçém=\mathrm{R} $ 20.000,00 . Em seguida, o preço de \(x_{1}\) aumenta para \(p_{1}^{\prime}=\mathrm{R} \\) 150,00 / \mathrm{h}\(, mantendo-se\)p_{2}\(e\)m.
(a) Calcule as demandas Marshallianas antes e depois do aumento de p_{1}.
(b) Usando a decomposição de Slutsky, separe o efeito total sobre x_{1} em efeito substituição (via demanda Hicksiana com utilidade compensada) e efeito renda.
(c) Com base nos resultados, compute a elasticidade-preço (Marshalliana) de x_{1} no ponto inicial (use a fórmula de elasticidade ou a variação percentual aproximada).
(d) Discuta operacionalmente como o mix ótimo de horas CNC e metrologia muda com o choque de preço e represente graficamente (reta orçamentária inicial e final, indiferença compensada e nova escolha).

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar ponto a ponto para ficar claro):
  • Função utilidade: U\left(x_{1},x_{2}\right)=x_{1}^{0,5}x_{2}^{0,5}.
  • Preços e renda iniciais: p_{1}= \text{R\$}100,00/\text{h}, p_{2}= \text{R\$ }100,00/\text{h}, m=\text{R\$ }20.000,00.
  • Novo preço: p_{1}^{\prime}=\text{R\$ }150,00/\text{h} (a renda m e p_{2} permanecem).
  • Perguntas:
    (a) Calcular as demandas Marshallianas antes e depois do aumento de p_{1} (ou seja (x_{1},x_{2}) inicial e final).
    (b) Usando a decomposição de Slutsky, separar o efeito total sobre x_{1} em efeito substituição (compensado) e efeito renda. (O enunciado menciona também demanda Hicksiana; mais adiante explico a diferença e mostro ambos).
    (c) Calcular a elasticidade-preço (Marshalliana) de x_{1} no ponto inicial — pode usar fórmula de elasticidade pontual ou variação percentual aproximada.
    (d) Discutir qualitativamente/operacionalmente como o mix ótimo de horas muda com o choque de preço e indicar como desenhar graficamente (retas orçamentárias, indiferença compensada, novo ponto).

Passo 2

Resolver de forma geral a maximização de utilidade (passo-a-passo didático) para obter as demandas Marshallianas.
  1. Contexto do problema: é um problema padrão de maximização
\max_{x_{1},x_{2}} \; U(x_{1},x_{2})=x_{1}^{0,5}x_{2}^{0,5}
sujeito à restrição orçamentária
p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}=m.
  1. Método: usamos Lagrange para não pular etapas. Monta-se a função Lagrange
\mathcal{L}(x_{1},x_{2},\lambda)=x_{1}^{0,5}x_{2}^{0,5}+\lambda\left(m-p_{1}x_{1}-p_{2}x_{2}\right).
Aqui \lambda é o multiplicador de Lagrange (interpreta-se como utilidade marginal da renda).
  1. Condições de primeira ordem (derivadas parciais nulas):
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_{1}}=0 \quad\Rightarrow\quad 0,5x_{1}^{-0,5}x_{2}^{0,5}-\lambda p_{1}=0,
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_{2}}=0 \quad\Rightarrow\quad 0,5x_{1}^{0,5}x_{2}^{-0,5}-\lambda p_{2}=0,
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda}=0 \quad\Rightarrow\quad m-p_{1}x_{1}-p_{2}x_{2}=0.
  1. Dividindo as duas primeiras equações para eliminar \lambda e termos em x:
\frac{0,5x_{1}^{-0,5}x_{2}^{0,5}}{0,5x_{1}^{0,5}x_{2}^{-0,5}}=\frac{\lambda p_{1}}{\lambda p_{2}} \quad\Rightarrow\quad \frac{x_{2}}{x_{1}}=\frac{p_{1}}{p_{2}}.
Isto pode ser rearranjado para obter relação entre x_{1} e x_{2}:
x_{2}=\frac{p_{1}}{p_{2}}x_{1}.
  1. Substituir na restrição orçamentária:
p_{1}x_{1}+p_{2}\left(\frac{p_{1}}{p_{2}}x_{1}\right)=m \quad\Rightarrow\quad p_{1}x_{1}+p_{1}x_{1}=m \quad\Rightarrow\quad 2p_{1}x_{1}=m.
  1. Daí obtemos a demanda Marshalliana para x_{1}:
x_{1}=\frac{m}{2p_{1}}.
E, usando a relação x_{2}=\dfrac{p_{1}}{p_{2}}x_{1} ou simetricamente resolvendo para x_{2}, obtemos
x_{2}=\frac{m}{2p_{2}}.
Comentário didático curto: isto é típico para utilidades Cobb–Douglas quando os expoentes somam 1; cada bem consome uma fração fixa da renda. Aqui cada expoente é 0,5, então cada bem absorve metade da renda, logo x_{i}=(\text{fração})\cdot m/p_{i}çã com fração =0,5.

Passo 3

Calcular numericamente as demandas antes e depois do aumento de preço (parte (a)).
  1. Valores iniciais:
x_{1}^{\text{inicial}}=\frac{m}{2p_{1}}=\frac{20.000}{2\cdot 100}=\frac{20.000}{200}=100\\ \text{horas},
x_{2}^{\text{inicial}}=\frac{m}{2p_{2}}=\frac{20.000}{2\cdot 100}=100\\ \text{horas}.
  1. Valores após p_{1}^{\prime}=150 (mantendo m e p_{2}):
x_{1}^{\text{novo}}=\frac{m}{2p_{1}^{\prime}}=\frac{20.000}{2\cdot 150}=\frac{20.000}{300}\approx66{,}6667\\ \text{horas},
x_{2}^{\text{novo}}=\frac{m}{2p_{2}}=\frac{20.000}{2\cdot 100}=100\\ \text{horas}.
Interpretação rápida: o aumento de p_{1} reduz x_{1} de 100 para \approx66{,}667 horas; x_{2} permanece 100 porque seu preço e a renda não mudaram e a estrutura Cobb–Douglas fixa a parcela da renda.

Passo 4

Decomposição de Slutsky: conceitos, fórmulas e cálculo numérico (parte (b), via Slutsky). Também vou mostrar a versão Hicksiana para comparar (o enunciado menciona demanda Hicksiana).
  1. Conceito (explicado de forma simples):
  • O efeito total sobre x_{1} (quando p_{1} muda) pode ser separado em:
    • Efeito substituição (mantendo o poder de compra de modo que o consumidor possa comprar o cesto original) — decomposição de Slutsky usa uma compensação em renda tal que o consumidor ainda possa comprar o cesto original; a variante Hicksiana compensa para manter o nível de utilidade original.
    • Efeito renda (depois da compensação): diferença entre o novo consumo e o consumo compensado.
  1. Fórmula prática (Slutsky):
  • Renda compensada segundo Slutsky: m^{c}=m+(p_{1}^{\prime}-p_{1})x_{1}^{\text{inicial}}. Isso significa que se o preço sobe, se der ao consumidor um acréscimo de renda suficiente para que ele ainda possa comprar o cesto original, o poder de compra em relação ao cesto original fica restaurado.
  • Substituição (Slutsky) = demanda Marshalliana com nova p_{1}^{\prime} e renda compensada m^{c} menos demanda inicial:
\text{Substituição}_{\text{Slutsky}}=x_{1}\big(p_{1}^{\prime},p_{2},m^{c}\big)-x_{1}\big(p_{1},p_{2},m\big).çã
  • Efeito renda (Slutsky) = demanda final menos demanda compensada:
\text{Renda}_{\text{Slutsky}}=x_{1}\big(p_{1}^{\prime},p_{2},m\big)-x_{1}\big(p_{1}^{\prime},p_{2},m^{c}\big).
  1. Cálculos numéricos (Slutsky):
  • Primeiro x_{1}^{\text{inicial}}=100 (já achado). A diferença de preço é \Delta p_{1}=p_{1}^{\prime}-p_{1}=150-100=50.
  • Renda compensada:
m^{c}=m+\Delta p_{1}\cdot x_{1}^{\text{inicial}}=20.000+50\cdot 100=20.000+5.000=25.000.
  • Demanda de x_{1} com p_{1}^{\prime}=150 e renda compensada m^{c}=25.000:
x_{1}\big(p_{1}^{\prime},p_{2},m^{c}\big)=\frac{m^{c}}{2p_{1}^{\prime}}=\frac{25.000}{2\cdot150}=\frac{25.000}{300}\approx83{,}3333.
  • Então:
\text{Substituição}_{\text{Slutsky}}=83{,}3333-100=-16{,}6667\\ \text{horas},çã
\text{Renda}_{\text{Slutsky}}=66{,}6667-83{,}3333=-16{,}6666\\ \text{horas}.
Cheque de consistência: soma dos efeitos -16{,}6667 + (-16{,}6666) = -33{,}3333, que é exatamente a mudança total 66{,}6667-100=-33{,}3333.
Comentário: na decomposição de Slutsky os dois efeitos têm magnitudes iguais aqui, porque a demanda Marshalliana é linear em m e em 1/p para Cobb–Douglas com parcelas iguais — resultado que veremos também pela estrutura do problema.

Passo 5

Decomposição Hicksiana (explicação e cálculo comparativo). Vou explicar porque pode dar números diferentes e calcular também (útil didaticamente, já que o enunciado mencionou Hicksiana).
  1. Conceito:
  • A decomposição de Hicks fixa a utilidade inicial u_{0} e define a renda mínima e(p_{1}^{\prime},p_{2},u_{0}) necessária para atingir essa utilidade com os novos preços; a variação entre a demanda compensada (Hicksiana) e a demanda inicial é o efeito substituição (Hicks), e o restante até a demanda final é o efeito renda (Hicks).
  1. Para usar isso precisamos do nível de utilidade inicial u_{0}:
  • Com o cesto inicial (100,100),
u_{0}=100^{0,5}\cdot100^{0,5}=\sqrt{100\cdot100}=100.
  1. Expenditure function para Cobb–Douglas com expoentes 0{,}5 e 0{,}5:
  • Fórmula geral (quando expoentes somam 1): e(p_{1},p_{2},u)=u\cdot \alpha^{-\alpha}\beta^{-\beta} p_{1}^{\alpha}p_{2}^{\beta}. Aqui \alpha=\beta=0{,}5, portanto \alpha^{-\alpha}\beta^{-\beta}=2. Assim
e(p_{1},p_{2},u)=2u\sqrt{p_{1}p_{2}}.
(Verificação rápida: com p_{1}=p_{2}=100 e u=100 obtém-se e=20.000, consistente com a renda inicial.)
  1. Expenditure com novo preço e utilidade u_{0}:
e(p_{1}^{\prime},p_{2},u_{0})=2\cdot 100\cdot\sqrt{150\cdot 100}=200\sqrt{15000}=10000\sqrt{6}\approx24.494{,}897.
  1. Demanda Hicksiana (compensada por utilidade) para x_{1} com p_{1}^{\prime}:
h_{1}(p_{1}^{\prime},p_{2},u_{0})=\frac{1}{2}\frac{e(p_{1}^{\prime},p_{2},u_{0})}{p_{1}^{\prime}} =\frac{1}{2}\frac{10000\sqrt{6}}{150}=\frac{100\sqrt{6}}{3}\approx81{,}6497.
  1. Então decomposição Hicks:
  • Substituição (Hicks) = h_{1}(p_{1}^{\prime},p_{2},u_{0})-x_{1}^{\text{inicial}}=81{,}6497-100=-18{,}3503.
  • Efeito renda (Hicks) = x_{1}^{\text{novo}}-h_{1}(p_{1}^{\prime},p_{2},u_{0})=66{,}6667-81{,}6497=-14{,}9830.
    Cheque: soma dá -33{,}3333 (efeito total), compatível.
  1. Observação didática sobre a diferença entre Slutsky e Hicks:
  • Slutsky compensa para que o consumidor consiga comprar o cesto original (mesmo conjunto), enquanto Hicks compensa para manter a utilidade constante. Em geral os dois efeitos de substituição não coincidem, mas ambos comparam o efeito “substituição” de preços isolado do efeito renda. Aqui os valores são próximos; Slutsky deu substituição -16{,}6667 e Hicks deu -18{,}3503.

Passo 6

Elasticidade-preço Marshalliana de x_{1} no ponto inicial (parte (c)).
  1. Fórmula pontual de elasticidade-preço (definição):
\varepsilon_{x_{1},p_{1}}=\frac{\partial x_{1}}{\partial p_{1}}\cdot\frac{p_{1}}{x_{1}}.
  1. Como x_{1}=\dfrac{m}{2p_{1}}, temos
\frac{\partial x_{1}}{\partial p_{1}}=-\frac{m}{2p_{1}^{2}}=-\frac{x_{1}}{p_{1}}.
Logo
\varepsilon_{x_{1},p_{1}}=\left(-\frac{x_{1}}{p_{1}}\right)\frac{p_{1}}{x_{1}}=-1.
Interpretação: a elasticidade-preço pontual é -1 (elasticidade unitária) — isto significa que, localmente, uma variação percentual pequena em p_{1} causa uma variação percentual de mesmo tamanho e sinal oposto em x_{1}.
  1. Comentário sobre variação discreta grande: usando a variação percentual aproximada entre p_{1}=100 e p_{1}^{\prime}=150,
\%\Delta p_{1}=\frac{150-100}{100}=0{,}5=50\%, \quad \%\Delta x_{1}\approx\frac{66{,}6667-100}{100}=-0{,}333333=-33{,}333\%.
A elasticidade aproximada por mudanças discretas é -33{,}333\%/50\%=-0{,}6667. Essa aproximação difere do resultado pontual -1 porque a mudança é grande; para variações infinitesimais vale exatamente -1.

Passo 7

Discussão operacional e desenho gráfico do ajuste ótimo (parte (d)) — como interpretar e como traçar o gráfico.
  1. Como desenhar as retas orçamentárias:
  • Eixos: eixo horizontal x_{1} (horas CNC), eixo vertical x_{2} (horas metrologia).
  • Reta orçamentária inicial: passa pelos interceptos x_{1}^{\max}=\frac{m}{p_{1}}=\frac{20.000}{100}=200,\qquad x_{2}^{\max}=\frac{m}{p_{2}}=\frac{20.000}{100}=200.Slope (declive) da reta: -\dfrac{p_{1}}{p_{2}}=-1.
  • Reta orçamentária após aumento de p_{1} ( p_{1}^{\prime}=150): interceptos x_{1}^{\max\prime}=\frac{20.000}{150}\approx133{,}333,\qquad x_{2}^{\max}=200.Slope agora -\dfrac{150}{100}=-1{,}5. Portanto a reta gira para dentro em torno do intercepto vertical x_{2}^{\max} (menor poder de compra em x_{1}).
  1. Pontos importantes que desenhar:
  • Escolha ótima inicial: (100,100) — ponto de tangência entre a reta orçamentária inicial e uma curva de indiferença que corresponde a u_{0}=100.
  • Nova escolha Marshalliana: (66{,}6667,100) — novo ponto de tangência na nova reta orçamentária.
  • Curva de indiferença compensada (Hicksiana): a curva que passa por (100,100) (mesma utilidade u_{0}) e que é tangente à nova reta orçamentária deslocada para permitir tangência; o ponto de tangência na nova reta, mantendo utilidade, tem coordenadas approximadas (81{,}6497,122{,}4745) (esse é o bundle Hicksiano compensado).
  • Bundle Slutsky compensado (útil para visualizar a decomposição Slutsky) tem coordenadas (83{,}3333,125) — resultante de dar renda adicional para compensar a capacidade de comprar o cesto original.
  1. Interpretação operacional:
  • O aumento de p_{1} torna horas CNC relativamente mais caras: o mix ótimo se desloca reduzindo x_{1}.
  • Há um componente substituição: o produtor substitui (relativamente) para mais x_{2} e menos x_{1} quando x_{1} fica mais caro — na decomposição Hicksiana isso aparece como -18{,}35 horas de substituição (aproximadamente).
  • Há também um componente renda: o aumento de preço efetivamente reduz o poder de compra real do orçamento; com Cobb–Douglas normal, isso reduz ainda mais x_{1} (aqui efeito renda negativo de -16{,}6667 por Slutsky).
  • No gráfico: desenhar a reta inicial, a nova reta (rotacionada para dentro em torno do eixo vertical), marcar (100,100), marcar a curva de indiferença inicial passando por esse ponto; desenhar a curva de indiferença tangente à nova reta em (66{,}6667,100) (nova escolha). Adicionalmente, desenhar a reta paralela à nova reta que toque a curva de utilidade original para visualizar Hicks (ponto Hicksiano) e desenhar a reta orçamentária com renda m^{c} para visualizar Slutsky (ponto Slutsky). Esses elementos deixam claro a decomposição dos efeitos.
  1. Mensagem final operacional e de incentivo:
  • Resultado prático: com o choque de preço, a fábrica reduz as horas CNC de 100 para \approx66{,}667 e mantém as horas de metrologia em 100. Tanto substituição quanto renda contribuem para essa redução.
  • Se tens prova, lembra: para Cobb–Douglas com expoentes que somam 1, demandas são fáceis: x_{i}=\text{expoente}\cdot m/p_{i}. Decomposições Slutsky/Hicks exigem um cuidado sobre o que se compensa (mesmo cesto versus mesma utilidade) — ver os dois ajuda a entender.

Resposta

(a) x_{1}^{\text{inicial}}=100,\quad x_{2}^{\text{inicial}}=100.
\quad x_{1}^{\text{novo}}\approx66{,}6667,\quad x_{2}^{\text{novo}}=100.
(b) Decomposição de Slutsky (usando compensação para poder comprar o cesto inicial):
\quad\text{Substituição}_{\text{Slutsky}}= -16{,}6667\\ \text{horas},çã
\quad\text{Renda}_{\text{Slutsky}}= -16{,}6666\\ \text{horas}.
Decomposição Hicks (compensando para manter utilidade inicial u_{0}=100, para referência):
\quad\text{Substituição}_{\text{Hicks}} \approx -18{,}3503\\ \text{horas},çã
\quad\text{Renda}_{\text{Hicks}} \approx -14{,}9830\\ \text{horas}.
(c) Elasticidade-preço pontual em p_{1}=100: \varepsilon_{x_{1},p_{1}}=-1.
A elasticidade aproximada por variação discreta 100\to150 é cerca de -0{,}6667.
(d) Operacionalmente: o mix ótimo rotaciona porque a reta orçamentária gira para dentro em torno do intercepto x_{2}^{\max}=200 (slope muda de -1 para -1{,}5); a escolha ótima passa de (100,100) para (66{,}6667,100). No gráfico: desenhar as duas retas orçamentárias, a curva de indiferença inicial que passa por (100,100), a nova curva de indiferença tangente à nova reta em (66{,}6667,100); para visualizar a decomposição, também desenhar o bundle compensado de Slutsky (83{,}3333,125) e o bundle compensado de Hicks (81{,}6497,122{,}4745).

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