Uma fábrica usa
(hora de máquina CNC ) e
(hora de setup/metrologia) com preferências Cobb-Douglas
Inicialmente,
100,00 / \mathrm{h}, p_{2}=\mathrm{R} $100,00 / \mathrm{h}
m=\mathrm{R} $ 20.000,00
.
(a) Calcule as demandas Marshallianas antes e depois do aumento de
.
(b) Usando a decomposição de Slutsky, separe o efeito total sobre
em efeito substituição (via demanda Hicksiana com utilidade compensada) e efeito renda.
(c) Com base nos resultados, compute a elasticidade-preço (Marshalliana) de
no ponto inicial (use a fórmula de elasticidade ou a variação percentual aproximada).
(d) Discuta operacionalmente como o mix ótimo de horas CNC e metrologia muda com o choque de preço e represente graficamente (reta orçamentária inicial e final, indiferença compensada e nova escolha).
(a) Calcule as demandas Marshallianas antes e depois do aumento de
(b) Usando a decomposição de Slutsky, separe o efeito total sobre
(c) Com base nos resultados, compute a elasticidade-preço (Marshalliana) de
(d) Discuta operacionalmente como o mix ótimo de horas CNC e metrologia muda com o choque de preço e represente graficamente (reta orçamentária inicial e final, indiferença compensada e nova escolha).
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar ponto a ponto para ficar claro):
- Função utilidade:
. - Preços e renda iniciais:
, , . - Novo preço:
(a renda e permanecem). - Perguntas:
(a) Calcular as demandas Marshallianas antes e depois do aumento de(ou seja inicial e final).
(b) Usando a decomposição de Slutsky, separar o efeito total sobreem efeito substituição (compensado) e efeito renda. (O enunciado menciona também demanda Hicksiana; mais adiante explico a diferença e mostro ambos).
(c) Calcular a elasticidade-preço (Marshalliana) deno ponto inicial — pode usar fórmula de elasticidade pontual ou variação percentual aproximada.
(d) Discutir qualitativamente/operacionalmente como o mix ótimo de horas muda com o choque de preço e indicar como desenhar graficamente (retas orçamentárias, indiferença compensada, novo ponto).
Passo 2
Resolver de forma geral a maximização de utilidade (passo-a-passo didático) para obter as demandas Marshallianas.
- Contexto do problema: é um problema padrão de maximização
sujeito à restrição orçamentária
- Método: usamos Lagrange para não pular etapas. Monta-se a função Lagrange
Aqui
é o multiplicador de Lagrange (interpreta-se como utilidade marginal da renda).
- Condições de primeira ordem (derivadas parciais nulas):
- Dividindo as duas primeiras equações para eliminar
e termos em :
Isto pode ser rearranjado para obter relação entre
e
:
- Substituir na restrição orçamentária:
- Daí obtemos a demanda Marshalliana para
:
E, usando a relação
ou simetricamente resolvendo para
, obtemos
Comentário didático curto: isto é típico para utilidades Cobb–Douglas quando os expoentes somam 1; cada bem consome uma fração fixa da renda. Aqui cada expoente é
, então cada bem absorve metade da renda, logo
com fração
.
Passo 3
Calcular numericamente as demandas antes e depois do aumento de preço (parte (a)).
- Valores iniciais:
- Valores após
(mantendo e ):
Interpretação rápida: o aumento de
reduz
de
para
horas;
permanece
porque seu preço e a renda não mudaram e a estrutura Cobb–Douglas fixa a parcela da renda.
Passo 4
Decomposição de Slutsky: conceitos, fórmulas e cálculo numérico (parte (b), via Slutsky). Também vou mostrar a versão Hicksiana para comparar (o enunciado menciona demanda Hicksiana).
- Conceito (explicado de forma simples):
- O efeito total sobre
(quando muda) pode ser separado em: - Efeito substituição (mantendo o poder de compra de modo que o consumidor possa comprar o cesto original) — decomposição de Slutsky usa uma compensação em renda tal que o consumidor ainda possa comprar o cesto original; a variante Hicksiana compensa para manter o nível de utilidade original.
- Efeito renda (depois da compensação): diferença entre o novo consumo e o consumo compensado.
- Fórmula prática (Slutsky):
- Renda compensada segundo Slutsky:
. Isso significa que se o preço sobe, se der ao consumidor um acréscimo de renda suficiente para que ele ainda possa comprar o cesto original, o poder de compra em relação ao cesto original fica restaurado. - Substituição (Slutsky) = demanda Marshalliana com nova
e renda compensada menos demanda inicial:
- Efeito renda (Slutsky) = demanda final menos demanda compensada:
- Cálculos numéricos (Slutsky):
- Primeiro
(já achado). A diferença de preço é . - Renda compensada:
- Demanda de
com e renda compensada :
- Então:
Cheque de consistência: soma dos efeitos
, que é exatamente a mudança total
.
Comentário: na decomposição de Slutsky os dois efeitos têm magnitudes iguais aqui, porque a demanda Marshalliana é linear em
e em
para Cobb–Douglas com parcelas iguais — resultado que veremos também pela estrutura do problema.
Passo 5
Decomposição Hicksiana (explicação e cálculo comparativo). Vou explicar porque pode dar números diferentes e calcular também (útil didaticamente, já que o enunciado mencionou Hicksiana).
- Conceito:
- A decomposição de Hicks fixa a utilidade inicial
e define a renda mínima necessária para atingir essa utilidade com os novos preços; a variação entre a demanda compensada (Hicksiana) e a demanda inicial é o efeito substituição (Hicks), e o restante até a demanda final é o efeito renda (Hicks).
- Para usar isso precisamos do nível de utilidade inicial
:
- Com o cesto inicial
,
- Expenditure function para Cobb–Douglas com expoentes
e :
- Fórmula geral (quando expoentes somam 1):
. Aqui , portanto . Assim
(Verificação rápida: com
e
obtém-se
, consistente com a renda inicial.)
- Expenditure com novo preço e utilidade
:
- Demanda Hicksiana (compensada por utilidade) para
com :
- Então decomposição Hicks:
- Substituição (Hicks) =
. - Efeito renda (Hicks) =
.
Cheque: soma dá(efeito total), compatível.
- Observação didática sobre a diferença entre Slutsky e Hicks:
- Slutsky compensa para que o consumidor consiga comprar o cesto original (mesmo conjunto), enquanto Hicks compensa para manter a utilidade constante. Em geral os dois efeitos de substituição não coincidem, mas ambos comparam o efeito “substituição” de preços isolado do efeito renda. Aqui os valores são próximos; Slutsky deu substituição
e Hicks deu .
Passo 6
Elasticidade-preço Marshalliana de
no ponto inicial (parte (c)).
- Fórmula pontual de elasticidade-preço (definição):
- Como
, temos
Logo
Interpretação: a elasticidade-preço pontual é
(elasticidade unitária) — isto significa que, localmente, uma variação percentual pequena em
causa uma variação percentual de mesmo tamanho e sinal oposto em
.
- Comentário sobre variação discreta grande: usando a variação percentual aproximada entre
e ,
A elasticidade aproximada por mudanças discretas é
. Essa aproximação difere do resultado pontual
porque a mudança é grande; para variações infinitesimais vale exatamente
.
Passo 7
Discussão operacional e desenho gráfico do ajuste ótimo (parte (d)) — como interpretar e como traçar o gráfico.
- Como desenhar as retas orçamentárias:
- Eixos: eixo horizontal
(horas CNC), eixo vertical (horas metrologia). - Reta orçamentária inicial: passa pelos interceptos
Slope (declive) da reta: . - Reta orçamentária após aumento de
( ): interceptos Slope agora . Portanto a reta gira para dentro em torno do intercepto vertical (menor poder de compra em ).
- Pontos importantes que desenhar:
- Escolha ótima inicial:
— ponto de tangência entre a reta orçamentária inicial e uma curva de indiferença que corresponde a . - Nova escolha Marshalliana:
— novo ponto de tangência na nova reta orçamentária. - Curva de indiferença compensada (Hicksiana): a curva que passa por
(mesma utilidade ) e que é tangente à nova reta orçamentária deslocada para permitir tangência; o ponto de tangência na nova reta, mantendo utilidade, tem coordenadas approximadas (esse é o bundle Hicksiano compensado). - Bundle Slutsky compensado (útil para visualizar a decomposição Slutsky) tem coordenadas
— resultante de dar renda adicional para compensar a capacidade de comprar o cesto original.
- Interpretação operacional:
- O aumento de
torna horas CNC relativamente mais caras: o mix ótimo se desloca reduzindo . - Há um componente substituição: o produtor substitui (relativamente) para mais
e menos quando fica mais caro — na decomposição Hicksiana isso aparece como horas de substituição (aproximadamente). - Há também um componente renda: o aumento de preço efetivamente reduz o poder de compra real do orçamento; com Cobb–Douglas normal, isso reduz ainda mais
(aqui efeito renda negativo de por Slutsky). - No gráfico: desenhar a reta inicial, a nova reta (rotacionada para dentro em torno do eixo vertical), marcar
, marcar a curva de indiferença inicial passando por esse ponto; desenhar a curva de indiferença tangente à nova reta em (nova escolha). Adicionalmente, desenhar a reta paralela à nova reta que toque a curva de utilidade original para visualizar Hicks (ponto Hicksiano) e desenhar a reta orçamentária com renda para visualizar Slutsky (ponto Slutsky). Esses elementos deixam claro a decomposição dos efeitos.
- Mensagem final operacional e de incentivo:
- Resultado prático: com o choque de preço, a fábrica reduz as horas CNC de
para e mantém as horas de metrologia em . Tanto substituição quanto renda contribuem para essa redução. - Se tens prova, lembra: para Cobb–Douglas com expoentes que somam 1, demandas são fáceis:
. Decomposições Slutsky/Hicks exigem um cuidado sobre o que se compensa (mesmo cesto versus mesma utilidade) — ver os dois ajuda a entender.
Resposta
(a)
(b) Decomposição de Slutsky (usando compensação para poder comprar o cesto inicial):
Decomposição Hicks (compensando para manter utilidade inicial
, para referência):
(c) Elasticidade-preço pontual em
:
A elasticidade aproximada por variação discreta é cerca de
.
A elasticidade aproximada por variação discreta
(d) Operacionalmente: o mix ótimo rotaciona porque a reta orçamentária gira para dentro em torno do intercepto
(slope muda de
para
); a escolha ótima passa de
para
. No gráfico: desenhar as duas retas orçamentárias, a curva de indiferença inicial que passa por
, a nova curva de indiferença tangente à nova reta em
; para visualizar a decomposição, também desenhar o bundle compensado de Slutsky
e o bundle compensado de Hicks
.