7- Um electrão (
) é lançado sob um ângulo de
a horizontal, com uma velocidade inicial de
, em uma regiaão onde existe um campo elécrico de valor
. Ignore os efeitos da gravidade e determine (a) o tempo que leva o electrão até regressar a sua altura inicial, (b) a altura máxima alcançada pelo electrão e (c) o seu deslocamente horizontal quando alcança a altura máxima.
: (a) 12 ns ; (b)
; (c)
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
- Carga do electrão:
. - Massa do electrão:
. - Velocidade inicial (módulo):
. - Ângulo de lançamento com a horizontal:
. - Campo elétrico:
(ou seja, aponta para cima, sentido ).
O enunciado pede:
(a) o tempo que o electrão leva para regressar à sua altura inicial (tempo total de subida+descida até );
(b) a altura máxima alcançada pelo electrão;
(c) o deslocamento horizontal quando atinge a altura máxima.
(a) o tempo que o electrão leva para regressar à sua altura inicial (tempo total de subida+descida até
(b) a altura máxima alcançada pelo electrão;
(c) o deslocamento horizontal quando atinge a altura máxima.
Passo 2
Decompor a velocidade inicial em componentes horizontal (
) e vertical (
). Para decomposição usamos as relações trigonométricas num triângulo retângulo:
onde
é o ângulo acima da horizontal,
é o cateto adjacente sobre a hipotenusa e
o cateto oposto sobre a hipotenusa.
Substituindo os valores:
Calculemos numericamente:
Passo 3
Encontrar a aceleração do electrão causada pelo campo elétrico. A força elétrica é dada por
. A segunda lei de Newton dá
, logo
O campo está na direção
(para cima), mas
é negativo, então a aceleração será para baixo (sentido negativo de
). Calculando o valor numérico da componente vertical da aceleração:
Façamos as contas:
Portanto a aceleração vertical é
(negativa porque é para baixo). Não há aceleração horizontal (campo só em
), então
.
Passo 4
Tempo que leva até regressar à altura inicial (parte (a)).
Para o movimento vertical com aceleração constante usamos a equação do deslocamento vertical:
Para o movimento vertical com aceleração constante usamos a equação do deslocamento vertical:
Tomando a origem
, queremos o tempo
tal que
. Assim:
A solução
é o instante inicial; a outra solução é
Como
é negativo e
é positivo, esse
é positivo.
Substituindo os números:
Convertendo para nanossegundos:
Logo o tempo total até regressar à altura inicial é aproximadamente
.
Passo 5
Tempo até alcançar a altura máxima (topo).
No topo a velocidade vertical é nula: . A equação da velocidade vertical é
No topo a velocidade vertical é nula:
Impondo
obtemos
Substituindo os valores:
Observe que
é metade do tempo total encontrado no Passo 4, como era de esperar para um movimento simétrico com aceleração constante.
Passo 6
Altura máxima atingida (parte (b)). Podemos usar a equação do deslocamento vertical até o topo:
Ou a fórmula clássica sem tempo:
Ambas são equivalentes; usarei a segunda por ser direta.
Substituindo números:
Portanto a altura máxima é aproximadamente
.
Passo 7
Deslocamento horizontal quando atinge a altura máxima (parte (c)).
Como não há aceleração horizontal, a componente horizontal da velocidade é constante: . O deslocamento horizontal até o topo é
Como não há aceleração horizontal, a componente horizontal da velocidade é constante:
Usando os valores já calculados:
Arredondando conforme a precisão dos dados, isso dá aproximadamente
, que coincide com a resposta fornecida.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)