11- Uma carga de
está uniformemente distribuida sobre a superficie de uma face de um disco não condutor de raio
. Determine o módulo, a direcção e o sentido do campo eléctrico que esse disco produz no ponto P sobre o eixo do disco a uma distância de 2 cm do seu centro…
R:
.
R:
Passo 1
Vamos listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Carga total sobre a superfície da face do disco:
(peguei do enunciado). - Raio do disco:
(conversão feita). - Ponto
sobre o eixo do disco a uma distância do centro (peguei do enunciado e converti). - O disco é não condutor e a carga está uniformemente distribuída sobre a superfície da face (isto significa densidade superficial constante sobre o círculo).
O enunciado pede:
- módulo (valor numérico) do campo elétrico no ponto
; - direção e sentido do campo elétrico nesse ponto.
Passo 2
Ideia física e configuração matemática (sem ainda calcular números).
Pense no disco como um conjunto de anéis concêntricos de raio variável
e espessura
. Cada anel tem carga
e produz no ponto
um campo cujo componente radial se cancela por simetria, sobrando apenas o componente ao longo do eixo (componente
). Vamos somar (integrar) a contribuição de cada anel de
até
.
Dados úteis que vamos usar:
- densidade superficial de carga:
. Aqui tem unidade . - campo no eixo produzido por um anel de raio
e carga a uma distância do centro: se a distância do elemento é , a componente axial do campo do anel é
- carga do anel de raio
e largura : .
Constante elétrica no vácuo:
.
Passo 3
Montar a integral para o campo axial usando as expressões acima.
Substituindo
em
obtemos
Simplificando fatores numéricos (observe que
cancela parcialmente com
):
Agora integramos
de
até
para obter
:
Passo 4
Calcular a integral. Vamos resolver
Faça a substituição conveniente
, assim
. Quando
,
. Quando
,
. Então
Integral de
é
. Então
Aplicando os limites:
Passo 5
Substituindo
em
:
Fatorando
cancela com
no primeiro termo, resultando na forma clássica
Esta é a expressão do módulo do campo elétrico ao longo do eixo de um disco circular uniformemente carregado (no lado em que estamos medindo). Observe que a direção é ao longo do eixo: se
o campo aponta para fora do disco (afastando-se do disco), se
aponta para o disco (sentido oposto).
Passo 6
Agora calculamos numericamente. Primeiro a densidade superficial:
Calcule
e
. Então
Passo 7
Calcular o fator
:
Passo 8
Calcular o termo adimensional da expressão:
Primeiro
.
Então
Então
portanto
Passo 9
Multiplicando os fatores para obter
:
Em unidades mais usuais, isto é aproximadamente
.
Passo 10
Direção e sentido: a carga total
é positiva (
), então o campo no ponto
aponta afastando-se da superfície carregada do disco ao longo do eixo (ou seja, ao longo do eixo que vai do centro do disco para
). Em palavras simpáticas: o vetor campo sai da superfície carregada e vai na direção do ponto
. Se
fosse negativo, o sentido seria o oposto.
Resposta
Direção: ao longo do eixo do disco.
Sentido: afastando-se do disco (se