11- Uma carga de 6,5 \mathrm{nC} está uniformemente distribuida sobre a superficie de uma face de um disco não condutor de raio 1,25 \mathrm{~cm}. Determine o módulo, a direcção e o sentido do campo eléctrico que esse disco produz no ponto P sobre o eixo do disco a uma distância de 2 cm do seu centro…
R: 114 \mathrm{kV} / \mathrm{m}.

Passo 1

Vamos listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Carga total sobre a superfície da face do disco: Q=6{,}5\times10^{-9}\\ \mathrm{C} (peguei do enunciado).
  • Raio do disco: R=1{,}25\\ \mathrm{cm}=0{,}0125\\ \mathrm{m} (conversão feita).
  • Ponto P sobre o eixo do disco a uma distância z=2{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}02\\ \mathrm{m} do centro (peguei do enunciado e converti).
  • O disco é não condutor e a carga está uniformemente distribuída sobre a superfície da face (isto significa densidade superficial constante sobre o círculo).
O enunciado pede:
  • módulo (valor numérico) do campo elétrico no ponto P;
  • direção e sentido do campo elétrico nesse ponto.

Passo 2

Ideia física e configuração matemática (sem ainda calcular números).
Pense no disco como um conjunto de anéis concêntricos de raio variável r e espessura dr. Cada anel tem carga dq e produz no ponto P um campo cujo componente radial se cancela por simetria, sobrando apenas o componente ao longo do eixo (componente z). Vamos somar (integrar) a contribuição de cada anel de r=0 até r=R.
Dados úteis que vamos usar:
  • densidade superficial de carga: \sigma=\dfrac{Q}{\pi R^{2}}. Aqui \sigma tem unidade \mathrm{C/m^{2}}.
  • campo no eixo produzido por um anel de raio r e carga dq a uma distância z do centro: se a distância do elemento é \sqrt{z^{2}+r^{2}}, a componente axial do campo do anel é
dE_{z}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{z}{\bigl(z^{2}+r^{2}\bigr)^{3/2}}\,dq.
  • carga do anel de raio r e largura dr: dq=\sigma\cdot(\text{área do anel})=\sigma\cdot 2\pi r\,drá.
Constante elétrica no vácuo: \varepsilon_{0}=8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.

Passo 3

Montar a integral para o campo axial usando as expressões acima.
Substituindo dq=\sigma\cdot 2\pi r\,dr em dE_{z} obtemos
dE_{z}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{z}{\bigl(z^{2}+r^{2}\bigr)^{3/2}}\cdot\sigma\cdot 2\pi r\,dr.
Simplificando fatores numéricos (observe que 2\pi cancela parcialmente com 4\pi):
dE_{z}=\frac{\sigma z}{2\varepsilon_{0}}\frac{r\,dr}{\bigl(z^{2}+r^{2}\bigr)^{3/2}}.
Agora integramos r de 0 até R para obter E_{z}:
E_{z}=\frac{\sigma z}{2\varepsilon_{0}}\int_{0}^{R}\frac{r\,dr}{\bigl(z^{2}+r^{2}\bigr)^{3/2}}.

Passo 4

Calcular a integral. Vamos resolver
I=\int_{0}^{R}\frac{r\,dr}{\bigl(z^{2}+r^{2}\bigr)^{3/2}}.
Faça a substituição conveniente u=z^{2}+r^{2}\Rightarrow du=2r\,dr, assim r\,dr=\dfrac{du}{2}. Quando r=0, u=z^{2}. Quando r=R, u=z^{2}+R^{2}. Então
I=\int_{u=z^{2}}^{u=z^{2}+R^{2}}\frac{1}{2}\,u^{-3/2}\,du.
Integral de u^{-3/2} é -2u^{-1/2}. Então
I=\frac{1}{2}\left[-2u^{-1/2}\right]_{z^{2}}^{z^{2}+R^{2}}=\left[-u^{-1/2}\right]_{z^{2}}^{z^{2}+R^{2}}.
Aplicando os limites:
I=-\frac{1}{\sqrt{z^{2}+R^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{z^{2}}}=\frac{1}{z}-\frac{1}{\sqrt{z^{2}+R^{2}}}.

Passo 5

Substituindo I em E_{z}:
E_{z}=\frac{\sigma z}{2\varepsilon_{0}}\left(\frac{1}{z}-\frac{1}{\sqrt{z^{2}+R^{2}}}\right).
Fatorando z cancela com 1/z no primeiro termo, resultando na forma clássica
E_{z}=\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}\left(1-\frac{z}{\sqrt{z^{2}+R^{2}}}\right).
Esta é a expressão do módulo do campo elétrico ao longo do eixo de um disco circular uniformemente carregado (no lado em que estamos medindo). Observe que a direção é ao longo do eixo: se Q>0 o campo aponta para fora do disco (afastando-se do disco), se Q<0 aponta para o disco (sentido oposto).

Passo 6

Agora calculamos numericamente. Primeiro a densidade superficial:
\sigma=\frac{Q}{\pi R^{2}}=\frac{6{,}5\times10^{-9}}{\pi\cdot(0{,}0125)^{2}}.
Calcule R^{2}=(0{,}0125)^{2}=0{,}00015625 e \pi R^{2}\approx3{,}1416\times0{,}00015625\approx4{,}9087\times10^{-4}. Então
\sigma\approx\frac{6{,}5\times10^{-9}}{4{,}9087\times10^{-4}}\approx1{,}3249\times10^{-5}\\ \mathrm{C/m^{2}}.

Passo 7

Calcular o fator \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}:
\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}=\frac{1{,}3249\times10^{-5}}{2\cdot 8{,}854\times10^{-12}} =\frac{1{,}3249\times10^{-5}}{1{,}7708\times10^{-11}}\approx7{,}486\times10^{5}\\ \mathrm{V/m}.

Passo 8

Calcular o termo adimensional da expressão:
1-\frac{z}{\sqrt{z^{2}+R^{2}}} \quad\text{com}\quad z=0{,}02,\; R=0{,}0125.
Primeiro \sqrt{z^{2}+R^{2}}=\sqrt{(0{,}02)^{2}+(0{,}0125)^{2}}=\sqrt{0{,}0004+0{,}00015625}=\sqrt{0{,}00055625}\approx0{,}0236.
Então
\frac{z}{\sqrt{z^{2}+R^{2}}}\approx\frac{0{,}02}{0{,}0236}\approx0{,}8475,
portanto
1-\frac{z}{\sqrt{z^{2}+R^{2}}}\approx0{,}1525.

Passo 9

Multiplicando os fatores para obter E:
E_{z}\approx7{,}486\times10^{5}\times0{,}1525\\ \mathrm{V/m}\approx1{,}1415\times10^{5}\\ \mathrm{V/m}.
Em unidades mais usuais, isto é aproximadamente 1{,}14\times10^{5}\\ \mathrm{V/m}=114\\ \mathrm{kV/m}.

Passo 10

Direção e sentido: a carga total Q é positiva ( 6{,}5\times10^{-9}\\ \mathrm{C}), então o campo no ponto P aponta afastando-se da superfície carregada do disco ao longo do eixo (ou seja, ao longo do eixo que vai do centro do disco para P). Em palavras simpáticas: o vetor campo sai da superfície carregada e vai na direção do ponto P. Se Q fosse negativo, o sentido seria o oposto.

Resposta

E=1{,}14\times10^{5}\\ \mathrm{V/m}=114\\ \mathrm{kV/m}.
Direção: ao longo do eixo do disco.
Sentido: afastando-se do disco (se Q>0; caso Q<0, seria no sentido contrário).

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