a. A v_{r m s} do hélio é maior, menor ou igual à v_{r m s} do argônio? Explique.
b. O hélio possui mais, menos ou a mesma energia interna que o argônio? Explique.

Passo 1

O enunciado faz duas perguntas claras:
  • (a) A v_{rms} do hélio é maior, menor ou igual à v_{rms} do argônio?
  • (b) O hélio possui mais, menos ou a mesma energia interna que o argônio?
Informações relevantes (o enunciado não dá condições explícitas, então aqui faço a hipótese padrão usada em provas): comparar as duas substâncias nas mesmas condições de temperatura e para a mesma quantidade de substância (mesmo número de mols n — ou então comparar por mol). Além disso, sabe‑se quimicamente que hélio e argônio são gases nobres monoatômicos (cada molécula é um átomo isolado).

Passo 2

Conceito e fórmula para a velocidade quadrática média ( v_{rms}):
  • A teoria cinética para gases ideais dá a expressão
v_{rms}=\sqrt{\frac{3k_B T}{m}},
onde:
  • v_{rms} é a velocidade quadrática média (root mean square),
  • k_B é a constante de Boltzmann,
  • T é a temperatura absoluta (em kelvin),
  • m é a massa de uma molécula (em kg).
  • Para trabalhar por mol usamos a forma equivalente com a constante universal dos gases:
v_{rms}=\sqrt{\frac{3RT}{M}},
onde:
  • R é a constante dos gases ideais,
  • M é a massa molar (em kg·mol ^{-1}).
Interpretação desta fórmula:
  • Para uma mesma temperatura T, v_{rms} varia como 1/\sqrt{M}. Ou seja, quanto menor a massa molar M, maior será v_{rms}.

Passo 3

Aplicando ao hélio e ao argônio:
  • Massa molar aproximada do hélio: M_{He}=4{,}00\times10^{-3}\\ \text{kg·mol}^{-1}.
  • Massa molar aproximada do argônio: M_{Ar}=39{,}95\times10^{-3}\\ \text{kg·mol}^{-1}.
Calculando a razão das velocidades (mesma T):
\frac{v_{rms,He}}{v_{rms,Ar}}=\sqrt{\frac{M_{Ar}}{M_{He}}} =\sqrt{\frac{39{,}95\times10^{-3}}{4{,}00\times10^{-3}}} =\sqrt{\frac{39{,}95}{4{,}00}} \approx\sqrt{9{,}9875}\approx3{,}16.
Conclusão desta parte: para a mesma temperatura o hélio se move, em média, muito mais rápido — cerca de 3{,}16 vezes a velocidade quadrática média do argônio.
Como exemplo numérico: a T=300\\ \text{K},
v_{rms,He}\approx1368\\ \text{m/s},\qquad v_{rms,Ar}\approx433\\ \text{m/s},
mostrando concretamente que o hélio tem v_{rms} maior.

Passo 4

Conceito e fórmula para energia interna U de um gás ideal monoatômico:
  • Para um gás ideal com f graus de liberdade por molécula, a energia interna total é
U=\frac{f}{2}\,nRT,
onde:
  • U é a energia interna total,
  • n é o número de mols,
  • R é a constante dos gases,
  • T é a temperatura.
  • Para gases monoatômicos clássicos (aplicável a hélio e argônio em condições não extremas) tem‑se f=3, daí
U=\frac{3}{2}\,nRT.
Implicação importante:
  • A energia interna depende apenas de n e de T (e do f). Não depende da massa molar M.
  • Como hélio e argônio são ambos monoatômicos ( f=3), quando comparados à mesma temperatura e para a mesma quantidade de mols n terão a mesma energia interna total.

Passo 5

Observações sobre diferentes maneiras de comparar (para evitar confusão na prova):
  • Se a comparação for feita para a mesma temperatura e mesmo n (mesma quantidade de mols), então as energias internas são iguais.
  • Se a comparação for feita para a mesma massa total de gás (por exemplo 1 kg de cada), aí o número de mols n de hélio será muito maior do que o de argônio (pois M_{He} é menor), e então o hélio teria maior energia interna total porque U\propto n.
  • Se a comparação for por molécula (energia interna média por molécula), ambas têm a mesma energia média por molécula em função de T, pois a energia média por partícula é \tfrac{3}{2}k_B T.

Passo 6

Motivação final e encorajamento: resumindo intuitivamente — pense assim: hélio é leve, então à mesma temperatura as partículas têm que “correr” mais rápido para manter a mesma energia térmica média; mas a energia total do gás depende só de quantas partículas e da temperatura, não do quão pesadas elas são (desde que sejam monoatômicas). Você tá indo bem — essas comparações aparecem muito em provas; decore as fórmulas e as interpretações que usamos.

Resposta

a) A v_{rms} do hélio é maior que a do argônio (para a mesma temperatura), porque v_{rms}\propto1/\sqrt{M} e M_{He}\ll M_{Ar}.
b) O hélio e o argônio têm a mesma energia interna total se comparados à mesma temperatura e para a mesma quantidade de mols n, pois ambos são gases monoatômicos e U=\tfrac{3}{2}nRT.

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