Numa eleição de segundo turno, um instituto de pesquisa de opinião obteve, num levantamento de boca de urna, que 40 % dos entrevistados votaram no candidato A .
Construa intervalos de confiança para p admitindo que a estimativa p=0,40 foi obtida de amostras de tamanho 100,150 e 200. Compare os intervalos e comente. Considere um coeficiente de confiança de 90 %.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Esse exercício é de estatística e a gente vai construir intervalos de confiança para a proporção de votos no candidato A. A gente sabe que 40% dos entrevistados votaram nele e vamos calcular esses intervalos para amostras de tamanho 100, 150 e 200, com um nível de confiança de 90%. Para isso, precisamos entender o que é um intervalo de confiança e como calculá-lo usando a proporção amostral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um intervalo de confiança. Basicamente, ele nos dá uma faixa de valores dentro da qual a verdadeira proporção de votos no candidato A está provavelmente localizada. A fórmula para calcular o intervalo de confiança para uma proporção é:
Intervalo de Confiança = p pm z times raizp (1 - p)n ç
Aqui:
  • p é a proporção da amostra (neste caso, 0,40 ou 40%),
  • z é o valor crítico que corresponde ao nível de confiança desejado,
  • n é o tamanho da amostra.

Passo 3

Como queremos um nível de confiança de 90%, precisamos encontrar o valor de z que corresponde a esse nível. Para 90% de confiança, o valor de z é aproximadamente 1,645.

Passo 4

Agora, vamos calcular o erro padrão, que é a parte da fórmula dentro da raiz quadrada. Esse erro nos ajuda a entender a variabilidade da nossa estimativa.
Para cada tamanho de amostra:
  • Para n = 100:
    Erro Padrão = raiz0,40 times 0,60100 = raiz0,24100 = raiz0,0024 approx 0,049 ã
  • Para n = 150:
    Erro Padrão = raiz0,40 times 0,60150 = raiz0,24150 = raiz0,0016 approx 0,040 ã
  • Para n = 200:
    Erro Padrão = raiz0,40 times 0,60200 = raiz0,24200 = raiz0,0012 approx 0,0346 ã

Passo 5

Com o erro padrão calculado, vamos agora usar a fórmula do intervalo de confiança para cada tamanho de amostra:
Intervalo de Confiança = 0,40 pm 1,645 times Erro Padrão çã
Calculando para cada caso:
  • Para n = 100:
    0,40 pm 1,645 times 0,049 approx 0,40 pm 0,080 Rightarrow [0,32, 0,48]
  • Para n = 150:
    0,40 pm 1,645 times 0,040 approx 0,40 pm 0,066 Rightarrow [0,334, 0,466]
  • Para n = 200:
    0,40 pm 1,645 times 0,0346 approx 0,40 pm 0,057 Rightarrow [0,343, 0,457]

Passo 6

Agora que temos os intervalos de confiança para cada tamanho de amostra, podemos comparar e comentar. Observamos que conforme o tamanho da amostra aumenta, o intervalo de confiança fica mais estreito. Isso significa que quanto maior a amostra, mais precisa é a nossa estimativa da proporção verdadeira de votos no candidato A.

Resposta

Os intervalos de confiança de 90% para a proporção p, com p = 0,40, são:
  • Amostra de 100 pessoas: [0,32, 0,48]
  • Amostra de 150 pessoas: [0,334, 0,466]
  • Amostra de 200 pessoas: [0,343, 0,457]
Comentário: Conforme aumentamos o tamanho da amostra, os intervalos de confiança ficam mais estreitos, indicando que nossa estimativa da proporção p está ficando mais precisa.

Exercícios relacionados