Numa eleição de segundo turno, um instituto de pesquisa de opinião obteve, num levantamento de boca de urna, que
dos entrevistados votaram no candidato A .
Construa intervalos de confiança para
admitindo que a estimativa
foi obtida de amostras de tamanho 100,150 e 200. Compare os intervalos e comente. Considere um coeficiente de confiança de
.
Construa intervalos de confiança para
Passo 1
Beleza, vamos lá! Esse exercício é de estatística e a gente vai construir intervalos de confiança para a proporção de votos no candidato A. A gente sabe que 40% dos entrevistados votaram nele e vamos calcular esses intervalos para amostras de tamanho 100, 150 e 200, com um nível de confiança de 90%. Para isso, precisamos entender o que é um intervalo de confiança e como calculá-lo usando a proporção amostral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um intervalo de confiança. Basicamente, ele nos dá uma faixa de valores dentro da qual a verdadeira proporção de votos no candidato A está provavelmente localizada. A fórmula para calcular o intervalo de confiança para uma proporção é:
Aqui:
-
é a proporção da amostra (neste caso, 0,40 ou 40%), -
é o valor crítico que corresponde ao nível de confiança desejado, -
é o tamanho da amostra.
Passo 3
Como queremos um nível de confiança de 90%, precisamos encontrar o valor de
que corresponde a esse nível. Para 90% de confiança, o valor de
é aproximadamente 1,645.
Passo 4
Agora, vamos calcular o erro padrão, que é a parte da fórmula dentro da raiz quadrada. Esse erro nos ajuda a entender a variabilidade da nossa estimativa.
Para cada tamanho de amostra:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Passo 5
Com o erro padrão calculado, vamos agora usar a fórmula do intervalo de confiança para cada tamanho de amostra:
Calculando para cada caso:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Passo 6
Agora que temos os intervalos de confiança para cada tamanho de amostra, podemos comparar e comentar. Observamos que conforme o tamanho da amostra aumenta, o intervalo de confiança fica mais estreito. Isso significa que quanto maior a amostra, mais precisa é a nossa estimativa da proporção verdadeira de votos no candidato A.
Resposta
Os intervalos de confiança de 90% para a proporção
, com
, são:
- Amostra de 100 pessoas:
- Amostra de 150 pessoas:
- Amostra de 200 pessoas:
Comentário: Conforme aumentamos o tamanho da amostra, os intervalos de confiança ficam mais estreitos, indicando que nossa estimativa da proporção
está ficando mais precisa.