Numa eleição de segundo turno, um instituto de pesquisa de opinião obteve, num levantamento de boca de urna, que
dos entrevistados votaram no candidato A .
Construa intervalos de confiança para a verdadeira proporção p de eleitores que votaram no candidato A com coeficientes de confiança de
,
e
. Compare os intervalos e comente. Admita uma amostra de 150 individuos.
Construa intervalos de confiança para a verdadeira proporção p de eleitores que votaram no candidato A com coeficientes de confiança de
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Estamos lidando com uma eleição de segundo turno e um instituto fez uma pesquisa rápida perguntando para 150 pessoas quem elas votaram. Descobriu-se que 40% votaram no candidato A. O que precisamos fazer é construir intervalos de confiança para a verdadeira proporção $ p $ de eleitores que votaram no candidato A, utilizando níveis de confiança de 90%, 95% e 99%. Para isso, vamos usar conceitos de estatística relacionados à estimação de proporções e intervalos de confiança.
Passo 2
Vamos começar identificando os dados que temos:
- Proporção amostral ($ \hat{p} $) = 40% = 0,40
- Tamanho da amostra ($ n $) = 150
- Níveis de confiança ($ 1 - \alpha $) = 90%, 95%, 99%
Passo 3
Para construir um intervalo de confiança para uma proporção, usamos a seguinte fórmula:
Aqui, $ \hat{p} $ é a proporção amostral, $ z_{\alpha/2} $ é o valor crítico da distribuição normal correspondente ao nível de confiança desejado, e $ n $ é o tamanho da amostra.
Passo 4
Precisamos encontrar os valores de $ z_{\alpha/2} $ para os diferentes níveis de confiança:
- Para 90% de confiança: $ z_{0,05} \approx 1,645 $
- Para 95% de confiança: $ z_{0,025} \approx 1,96 $
- Para 99% de confiança: $ z_{0,005} \approx 2,576 $
Esses valores vêm da tabela da distribuição normal padrão e representam quantos desvios padrão devemos considerar para capturar a proporção verdadeira com o nível de confiança escolhido.
Passo 5
Agora, vamos calcular o erro padrão ($ SE $) da proporção:
Passo 6
Com o erro padrão calculado, vamos calcular os intervalos de confiança para cada nível:
Para 90% de confiança:
Para 95% de confiança:
Para 99% de confiança:
Passo 7
Agora, vamos comparar os intervalos de confiança:
- 90% de confiança: [33,42%, 46,58%]
- 95% de confiança: [32,16%, 47,84%]
- 99% de confiança: [29,7%, 50,3%]
Percebemos que, à medida que aumentamos o nível de confiança, o intervalo de confiança fica mais amplo. Isso acontece porque queremos ter mais certeza de que o intervalo realmente contem a verdadeira proporção $ p $, então precisamos abranger uma faixa maior de valores.
Resposta
Os intervalos de confiança para a proporção verdadeira de eleitores que votaram no candidato A são:
- 90% de confiança: [33,42%, 46,58%]
- 95% de confiança: [32,16%, 47,84%]
- 99% de confiança: [29,7%, 50,3%]
Observa-se que, conforme aumentamos o nível de confiança, o intervalo se torna mais amplo, refletindo uma maior certeza sobre a inclusão da verdadeira proporção $ p $.