Numa eleição de segundo turno, um instituto de pesquisa de opinião obteve, num levantamento de boca de urna, que 40 % dos entrevistados votaram no candidato A .
Construa intervalos de confiança para a verdadeira proporção p de eleitores que votaram no candidato A com coeficientes de confiança de 90 %, 95 % e 99 %. Compare os intervalos e comente. Admita uma amostra de 150 individuos.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Estamos lidando com uma eleição de segundo turno e um instituto fez uma pesquisa rápida perguntando para 150 pessoas quem elas votaram. Descobriu-se que 40% votaram no candidato A. O que precisamos fazer é construir intervalos de confiança para a verdadeira proporção $ p $ de eleitores que votaram no candidato A, utilizando níveis de confiança de 90%, 95% e 99%. Para isso, vamos usar conceitos de estatística relacionados à estimação de proporções e intervalos de confiança.

Passo 2

Vamos começar identificando os dados que temos:
  • Proporção amostral ($ \hat{p} $) = 40% = 0,40
  • Tamanho da amostra ($ n $) = 150
  • Níveis de confiança ($ 1 - \alpha $) = 90%, 95%, 99%

Passo 3

Para construir um intervalo de confiança para uma proporção, usamos a seguinte fórmula:
p pm zalpha/2 times raizp(1 - p)n
Aqui, $ \hat{p} $ é a proporção amostral, $ z_{\alpha/2} $ é o valor crítico da distribuição normal correspondente ao nível de confiança desejado, e $ n $ é o tamanho da amostra.

Passo 4

Precisamos encontrar os valores de $ z_{\alpha/2} $ para os diferentes níveis de confiança:
  • Para 90% de confiança: $ z_{0,05} \approx 1,645 $
  • Para 95% de confiança: $ z_{0,025} \approx 1,96 $
  • Para 99% de confiança: $ z_{0,005} \approx 2,576 $
Esses valores vêm da tabela da distribuição normal padrão e representam quantos desvios padrão devemos considerar para capturar a proporção verdadeira com o nível de confiança escolhido.

Passo 5

Agora, vamos calcular o erro padrão ($ SE $) da proporção:
SE

Passo 6

Com o erro padrão calculado, vamos calcular os intervalos de confiança para cada nível:
Para 90% de confiança:
0,40 pm 1,645 times 0,04 Rightarrow 0,40 pm 0,0658
Rightarrow [0,3342, 0,4658]
Para 95% de confiança:
0,40 pm 1,96 times 0,04 Rightarrow 0,40 pm 0,0784
Rightarrow [0,3216, 0,4784]
Para 99% de confiança:
0,40 pm 2,576 times 0,04 Rightarrow 0,40 pm 0,103
Rightarrow [0,297, 0,503]

Passo 7

Agora, vamos comparar os intervalos de confiança:
  • 90% de confiança: [33,42%, 46,58%]
  • 95% de confiança: [32,16%, 47,84%]
  • 99% de confiança: [29,7%, 50,3%]
Percebemos que, à medida que aumentamos o nível de confiança, o intervalo de confiança fica mais amplo. Isso acontece porque queremos ter mais certeza de que o intervalo realmente contem a verdadeira proporção $ p $, então precisamos abranger uma faixa maior de valores.

Resposta

Os intervalos de confiança para a proporção verdadeira de eleitores que votaram no candidato A são:
  • 90% de confiança: [33,42%, 46,58%]
  • 95% de confiança: [32,16%, 47,84%]
  • 99% de confiança: [29,7%, 50,3%]
Observa-se que, conforme aumentamos o nível de confiança, o intervalo se torna mais amplo, refletindo uma maior certeza sobre a inclusão da verdadeira proporção $ p $.

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