Um elemento a de um anel R é dito idempotente se a^{2}=a.
(a) Mostre que a^{m}=a para todo m \in \mathbb{N}^{*}.
(b) Mostre que os idempotentes de um anel comutativo formam um conjunto fechado para a multiplicação.
(c) Encontre os idempotentes de \mathbb{Z}_{6} \times \mathbb{Z}_{12}.

Passo 1

O enunciado define que um elemento a de um anel R é idempotente quando a^{2}=a. Ele pede três coisas:
(a) Mostrar que, se a é idempotente, então a^{m}=a para todo m\in\mathbb{N}^{*} (isto é, todo inteiro positivo).
(b) Mostrar que os idempotentes de um anel comutativo formam um conjunto fechado para a multiplicação (ou seja, o produto de dois idempotentes é idempotente).
(c) Determinar todos os idempotentes do anel \mathbb{Z}_{6}\times\mathbb{Z}_{12}.
Informações relevantes dadas:
  • Definição: a idempotente \Longleftrightarrow a^{2}=a.
  • No item (b) o anel é explicitamente declarado comutativo.
  • No item (c) o anel é o produto direto \mathbb{Z}_{6}\times\mathbb{Z}_{12}.

Passo 2

(a) Vamos provar que, se a^{2}=a, então a^{m}=a para todo m\in\mathbb{N}^{*}. Vou usar prova por indução em m, que é uma ferramenta padrão: prova por indução mostra que uma propriedade vale para todo inteiro positivo ao verificar uma base (geralmente m=1) e um passo indutivo (mostrar que, se vale para um m=k, então vale para m=k+1).
Base da indução: para m=1 temos a^{1}=a por definição, então a propriedade vale para m=1.
Passo indutivo: suponha que para algum k\ge1 vale a^{k}=a. Então
a^{k+1}=a^{k}\cdot a.
Pelo hipótese indutiva a^{k}=a, portanto
a^{k+1}=a\cdot a=a^{2}.
Mas como a é idempotente sabemos que a^{2}=a. Logo a^{k+1}=a. Isso completa o passo indutivo.
Conclusão: por indução, a^{m}=a para todo m\in\mathbb{N}^{*}.

Passo 3

Comentário didático curto sobre o que acabamos de usar: a ideia essencial é que, uma vez que a^{2}=a, multiplicar por mais fatores a não altera o valor — a potência “estabiliza” em a. A indução formaliza essa observação: já que vale para 1 e que de k implica k+1, vale para todos os inteiros positivos.

Passo 4

(b) Queremos mostrar que, num anel comutativo R, se e e f são idempotentes então o produto ef também é idempotente. Ou seja, precisamos provar que (ef)^{2}=ef.
Tomemos e,f\in R tais que e^{2}=e e f^{2}=f. Calculamos:
(ef)^{2}=ef\cdot ef.
Como o anel é comutativo podemos reorganizar os fatores livremente; em particular ef\cdot ef = e f e f. Agrupando pares iguais:
e f e f = (e e)(f f)=e^{2}f^{2}.
Usando que e^{2}=e e f^{2}=f obtemos
e^{2}f^{2}=ef.
Portanto (ef)^{2}=ef, isto é, ef é idempotente. Assim o conjunto dos idempotentes é fechado para a multiplicação.

Passo 5

Comentário sobre a necessidade de comutatividade: no cálculo usamos a troca efef = e e f f, que exige que e e f comutem (ou seja, ef=fe). Num anel não comutativo a propriedade pode falhar se e e f não comutarem; o resultado verdadeiro e mais fraco é: se e e f são idempotentes e comutam entre si, então ef é idempotente. No item (b) o enunciado assumiu anel comutativo, então essa hipótese garante que todo par comuta.

Passo 6

(c) Primeiro observação útil: no produto direto de anéis \mathbb{Z}_{6}\times\mathbb{Z}_{12} vale a regra
(a,b)^{2}=(a^{2},b^{2}).
Portanto (a,b) é idempotente em \mathbb{Z}_{6}\times\mathbb{Z}_{12} exatamente quando a é idempotente em \mathbb{Z}_{6} e b é idempotente em \mathbb{Z}_{12}. Logo basta encontrar os idempotentes de \mathbb{Z}_{6} e de \mathbb{Z}_{12} separadamente e depois formar todas as combinações possíveis (produto cartesiano).

Passo 7

Encontrar idempotentes em \mathbb{Z}_{n} equivale a resolver a congruência
x^{2}\equiv x \pmod{n},
ou seja
x(x-1)\equiv 0 \pmod{n}.
Uma técnica prática é decompor n em fatores coprimos (fatores de potências de primo) e usar o Teorema Chinês dos Resíduos: para cada primo p e seu expoente p^{k} que divide n, deve-se ter x\equiv 0\pmod{p^{k}} ou x\equiv 1\pmod{p^{k}} (isto decorre do fato de que x e x-1 são consecutivos, logo são coprimos entre si, então toda potência de p que divide o produto deve dividir um dos fatores). Assim, para cada bloco p^{k} há duas possibilidades (0 ou 1), e aplicando CRT combinam-se as escolhas.
Vamos aplicar isso a \mathbb{Z}_{6} e \mathbb{Z}_{12}.

Passo 8

Idempotentes em \mathbb{Z}_{6}.
Fatoramos 6=2\cdot3. Para o módulo 2 a condição dá x\equiv 0 ou 1\pmod{2}. Para o módulo 3 x\equiv 0 ou 1\pmod{3}. As combinações possíveis (mod 2, mod 3) são quatro:
  • (0,0) x\equiv 0\pmod{6}\Rightarrow x=0.
  • (1,1) x\equiv 1\pmod{6}\Rightarrow x=1.
  • (1,0) quer x\equiv1\pmod{2} e x\equiv0\pmod{3}. Pela verificação direta x=3 funciona (pois 3\equiv1\pmod{2} e 3\equiv0\pmod{3}).
  • (0,1) quer x\equiv0\pmod{2} e x\equiv1\pmod{3}. Pela verificação direta x=4 funciona (pois 4\equiv0\pmod{2} e 4\equiv1\pmod{3}).
Logo os idempotentes em \mathbb{Z}_{6} são
\{0,1,3,4\}.
Verificação rápida: por exemplo 3^{2}=9\equiv 3\pmod{6} e 4^{2}=16\equiv4\pmod{6}.

Passo 9

Idempotentes em \mathbb{Z}_{12}.
Fatoramos 12=4\cdot3, isto é 2^{2}\cdot3. Pelo mesmo raciocínio, para o bloco 4 (potência de 2) temos x\equiv0 ou 1\pmod{4}. Para o bloco 3 temos x\equiv0 ou 1\pmod{3}. Novamente quatro combinações:
  • (0,0) x\equiv0\pmod{12}\Rightarrow x=0.
  • (1,1) x\equiv1\pmod{12}\Rightarrow x=1.
  • (0,1) quer x\equiv0\pmod{4} e x\equiv1\pmod{3}. Verificando candidatos mod 12, x=4 satisfaz: 4\equiv0\pmod{4} e 4\equiv1\pmod{3}. Então 4 é idempotente.
  • (1,0) quer x\equiv1\pmod{4} e x\equiv0\pmod{3}. Verificando, x=9 satisfaz: 9\equiv1\pmod{4} e 9\equiv0\pmod{3}. Então 9 é idempotente.
Portanto os idempotentes em \mathbb{Z}_{12} são
\{0,1,4,9\}.
Verificação rápida: 9^{2}=81\equiv 9\pmod{12} e 4^{2}=16\equiv4\pmod{12}.

Passo 10

Conclusão para \mathbb{Z}_{6}\times\mathbb{Z}_{12}: como observado no Passo 6, os idempotentes do produto são todas as combinações (a,b) em que a é idempotente em \mathbb{Z}_{6} e b é idempotente em \mathbb{Z}_{12}. Assim o conjunto de idempotentes é o produto cartesiano
\{0,1,3,4\}\times\{0,1,4,9\},
que contém 4\cdot 4=16 elementos (todos os pares possíveis).

Resposta

(a) a^{m}=a para todo m\in\mathbb{N}^{*}.
(b) No anel comutativo R, se e e f são idempotentes então ef é idempotente, logo o conjunto dos idempotentes é fechado para a multiplicação.
(c) Os idempotentes de \mathbb{Z}_{6}\times\mathbb{Z}_{12} são
\{0,1,3,4\}\times\{0,1,4,9\}.

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