Um elemento
de um anel
é dito idempotente se
.
(a) Mostre que
para todo
.
(b) Mostre que os idempotentes de um anel comutativo formam um conjunto fechado para a multiplicação.
(c) Encontre os idempotentes de
.
(a) Mostre que
(b) Mostre que os idempotentes de um anel comutativo formam um conjunto fechado para a multiplicação.
(c) Encontre os idempotentes de
Passo 1
O enunciado define que um elemento
de um anel
é idempotente quando
. Ele pede três coisas:
(a) Mostrar que, se é idempotente, então
para todo
(isto é, todo inteiro positivo).
(b) Mostrar que os idempotentes de um anel comutativo formam um conjunto fechado para a multiplicação (ou seja, o produto de dois idempotentes é idempotente).
(c) Determinar todos os idempotentes do anel .
(a) Mostrar que, se
(b) Mostrar que os idempotentes de um anel comutativo formam um conjunto fechado para a multiplicação (ou seja, o produto de dois idempotentes é idempotente).
(c) Determinar todos os idempotentes do anel
Informações relevantes dadas:
- Definição:
idempotente . - No item (b) o anel é explicitamente declarado comutativo.
- No item (c) o anel é o produto direto
.
Passo 2
(a) Vamos provar que, se
, então
para todo
. Vou usar prova por indução em
, que é uma ferramenta padrão: prova por indução mostra que uma propriedade vale para todo inteiro positivo ao verificar uma base (geralmente
) e um passo indutivo (mostrar que, se vale para um
, então vale para
).
Base da indução: para
temos
por definição, então a propriedade vale para
.
Passo indutivo: suponha que para algum
vale
. Então
Pelo hipótese indutiva
, portanto
Mas como
é idempotente sabemos que
. Logo
. Isso completa o passo indutivo.
Conclusão: por indução,
para todo
.
Passo 3
Comentário didático curto sobre o que acabamos de usar: a ideia essencial é que, uma vez que
, multiplicar por mais fatores
não altera o valor — a potência “estabiliza” em
. A indução formaliza essa observação: já que vale para 1 e que de
implica
, vale para todos os inteiros positivos.
Passo 4
(b) Queremos mostrar que, num anel comutativo
, se
e
são idempotentes então o produto
também é idempotente. Ou seja, precisamos provar que
.
Tomemos
tais que
e
. Calculamos:
Como o anel é comutativo podemos reorganizar os fatores livremente; em particular
. Agrupando pares iguais:
Usando que
e
obtemos
Portanto
, isto é,
é idempotente. Assim o conjunto dos idempotentes é fechado para a multiplicação.
Passo 5
Comentário sobre a necessidade de comutatividade: no cálculo usamos a troca
, que exige que
e
comutem (ou seja,
). Num anel não comutativo a propriedade pode falhar se
e
não comutarem; o resultado verdadeiro e mais fraco é: se
e
são idempotentes e comutam entre si, então
é idempotente. No item (b) o enunciado assumiu anel comutativo, então essa hipótese garante que todo par comuta.
Passo 6
(c) Primeiro observação útil: no produto direto de anéis
vale a regra
Portanto
é idempotente em
exatamente quando
é idempotente em
e
é idempotente em
. Logo basta encontrar os idempotentes de
e de
separadamente e depois formar todas as combinações possíveis (produto cartesiano).
Passo 7
Encontrar idempotentes em
equivale a resolver a congruência
ou seja
Uma técnica prática é decompor
em fatores coprimos (fatores de potências de primo) e usar o Teorema Chinês dos Resíduos: para cada primo
e seu expoente
que divide
, deve-se ter
ou
(isto decorre do fato de que
e
são consecutivos, logo são coprimos entre si, então toda potência de
que divide o produto deve dividir um dos fatores). Assim, para cada bloco
há duas possibilidades (0 ou 1), e aplicando CRT combinam-se as escolhas.
Vamos aplicar isso a
e
.
Passo 8
Idempotentes em
.
Fatoramos
. Para o módulo
a condição dá
ou
. Para o módulo
dá
ou
. As combinações possíveis (mod
, mod
) são quatro:
-
dá . -
dá . -
quer e . Pela verificação direta funciona (pois e ). -
quer e . Pela verificação direta funciona (pois e ).
Logo os idempotentes em
são
Verificação rápida: por exemplo
e
.
Passo 9
Idempotentes em
.
Fatoramos
, isto é
. Pelo mesmo raciocínio, para o bloco
(potência de
) temos
ou
. Para o bloco
temos
ou
. Novamente quatro combinações:
-
dá . -
dá . -
quer e . Verificando candidatos mod , satisfaz: e . Então é idempotente. -
quer e . Verificando, satisfaz: e . Então é idempotente.
Portanto os idempotentes em
são
Verificação rápida:
e
.
Passo 10
Conclusão para
: como observado no Passo 6, os idempotentes do produto são todas as combinações
em que
é idempotente em
e
é idempotente em
. Assim o conjunto de idempotentes é o produto cartesiano
que contém
elementos (todos os pares possíveis).
Resposta
(a)
para todo
.
(b) No anel comutativo
, se
e
são idempotentes então
é idempotente, logo o conjunto dos idempotentes é fechado para a multiplicação.
(c) Os idempotentes de
são