Sejam I, J ideais de R. Mostre que:
é um ideal de
contido em
.
Passo 1
O enunciado dá:
e
são ideais de um anel
. Define-se
O que se pede:
- Mostrar que
é um ideal de . - Mostrar que
.
Vou usar que, por "ideais de
", entende-se ideais dois-lados (isto é, para todo
e todo
vale
; e análogo para
). Se
for comutativo a mesma observação é automática.
Passo 2
Lembrando a definição de ideal (explicação didática): um subconjunto
é um ideal dois-lados se e somente se
-
. - Se
então . - Se
e então e .
Essas propriedades são as que vou verificar para o conjunto
. A ideia é:
é definido por somas finitas de produtos
com
e
; preciso mostrar que essas somas formam um subconjunto fechado nas operações acima.
Passo 3
Verificar que
não é vazio (tem o
). Como
e
, tomando
,
e
obtemos
. Logo
. Portanto a propriedade (1) da definição de ideal está ok.
Passo 4
Fechamento por soma (mostrar que soma de dois elementos de
pertence a
).
Seja
Seja
e
Então a soma é
onde se define, por exemplo,
para
e
para
. Cada
e
, logo
é uma soma finita de termos
e portanto
. Assim a propriedade (2) é satisfeita.
Passo 5
Fechamento por inverso aditivo (mostrar que
quando
).
Se com
e
, então
Se
Como
é um ideal,
para todo
. Logo cada termo
tem primeiro fator em
e segundo em
, então
. Assim existe inverso aditivo.
Passo 6
Fechamento por multiplicação por elementos de
(mostrar que
e
para todo
e todo
).
Se então, para
,
Se
Como
é ideal dois-lados,
para todo
; e
. Logo
é soma finita de elementos do tipo (algo em
) vezes (algo em
), portanto
.
Analogamente,
Como
é ideal dois-lados,
para todo
; e
. Portanto
.
Assim a propriedade (3) da definição de ideal (fechamento sob multiplicação por elementos de
à esquerda e à direita) está verificada. Se
for comutativo basta mostrar um dos lados.
Passo 7
Conclusão de que
é um ideal de
.
Pelas verificações dos passos anteriores: contém , é fechado sob soma e inverso aditivo, e é fechado sob multiplicação por elementos de
. Logo
é um ideal dois-lados de
.
Pelas verificações dos passos anteriores: contém
Passo 8
Mostrar que
.
Se , então para cada termo
temos
e
. Como
é um ideal (fechado para multiplicação por elementos de
), cada produto
pertence a
. Como
é fechado sob soma, a soma
pertence a
. Logo qualquer elemento de
está em
, isto é
.
Se
Passo 9
Mostrar que
.
Analogamente, para cada termo
pertence a
porque
e
e
é ideal dois-lados (portanto fechado por multiplicação por escalares à esquerda e à direita). Somando,
. Assim
.
Analogamente, para
Passo 10
Conclusão de que
.
Dos passos anteriores temos e
. Portanto
.
Dos passos anteriores temos
Passo 11
Exemplo concreto (para fixar a ideia): no anel
tome
e
. Então
E de fato
é um ideal contido em
. Isso ilustra o resultado com números que dão intuição.