Sejam I, J ideais de R. Mostre que:
I \cdot J=\left\{\sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i} \mid a_{i} \in I, b_{i} \in J, n \in \mathbb{N}^{*}\right\} é um ideal de R contido em I \cap J.

Passo 1

O enunciado dá: I e J são ideais de um anel R. Define-se
I\cdot J=\left\{\sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i} \mid a_{i}\in I,\\ b_{i}\in J,\\ n\in\mathbb{N}^{*}\right\}.
O que se pede:
  • Mostrar que I\cdot J é um ideal de R.
  • Mostrar que I\cdot J\subseteq I\cap J.
Vou usar que, por "ideais de R", entende-se ideais dois-lados (isto é, para todo a\in I e todo r\in R vale ra,ar\in I; e análogo para J). Se R for comutativo a mesma observação é automática.

Passo 2

Lembrando a definição de ideal (explicação didática): um subconjunto K\subseteq R é um ideal dois-lados se e somente se
  1. 0\in K.
  2. Se x,y\in K então x+y\in K.
  3. Se x\in K e r\in R então rx\in K e xr\in K.
Essas propriedades são as que vou verificar para o conjunto I\cdot J. A ideia é: I\cdot J é definido por somas finitas de produtos a_i b_i com a_i\in I e b_i\in J; preciso mostrar que essas somas formam um subconjunto fechado nas operações acima.

Passo 3

Verificar que I\cdot J não é vazio (tem o 0). Como 0\in I e 0\in J, tomando n=1, a_1=0\in I e b_1=0\in J obtemos \sum_{i=1}^{1}a_i b_i = 0. Logo 0\in I\cdot J. Portanto a propriedade (1) da definição de ideal está ok.

Passo 4

Fechamento por soma (mostrar que soma de dois elementos de I\cdot J pertence a I\cdot J).
Seja
x=\sum_{i=1}^{n} a_i b_i\quad\text{com }a_i\in I,\\ b_i\in J,
e
y=\sum_{j=1}^{m} c_j d_j\quad\text{com }c_j\in I,\\ d_j\in J.
Então a soma é
x+y=\sum_{i=1}^{n} a_i b_i + \sum_{j=1}^{m} c_j d_j = \sum_{k=1}^{n+m} e_k f_k,
onde se define, por exemplo, e_k=a_k,\\ f_k=b_k para k=1,\dots,n e e_{n+\ell}=c_\ell,\\ f_{n+\ell}=d_\ell para \ell=1,\dots,m. Cada e_k\in I e f_k\in J, logo x+y é uma soma finita de termos e_k f_k e portanto x+y\in I\cdot J. Assim a propriedade (2) é satisfeita.

Passo 5

Fechamento por inverso aditivo (mostrar que -x\in I\cdot J quando x\in I\cdot J).
Se x=\sum_{i=1}^{n} a_i b_i com a_i\in I e b_i\in J, então
-x=\sum_{i=1}^{n} (-a_i) b_i.
Como I é um ideal, -a_i\in I para todo i. Logo cada termo (-a_i)b_i tem primeiro fator em I e segundo em J, então -x\in I\cdot J. Assim existe inverso aditivo.

Passo 6

Fechamento por multiplicação por elementos de R (mostrar que r x\in I\cdot J e x r\in I\cdot J para todo r\in R e todo x\in I\cdot J).
Se x=\sum_{i=1}^{n} a_i b_i então, para r\in R,
r x = \sum_{i=1}^{n} (r a_i) b_i.
Como I é ideal dois-lados, r a_i\in I para todo i; e b_i\in J. Logo r x é soma finita de elementos do tipo (algo em I) vezes (algo em J), portanto r x\in I\cdot J.
Analogamente,
x r = \sum_{i=1}^{n} a_i (b_i r).
Como J é ideal dois-lados, b_i r\in J para todo i; e a_i\in I. Portanto x r\in I\cdot J.
Assim a propriedade (3) da definição de ideal (fechamento sob multiplicação por elementos de R à esquerda e à direita) está verificada. Se R for comutativo basta mostrar um dos lados.

Passo 7

Conclusão de que I\cdot J é um ideal de R.
Pelas verificações dos passos anteriores: contém 0, é fechado sob soma e inverso aditivo, e é fechado sob multiplicação por elementos de R. Logo I\cdot J é um ideal dois-lados de R.

Passo 8

Mostrar que I\cdot J\subseteq I.
Se x=\sum_{i=1}^{n} a_i b_i\in I\cdot J, então para cada termo a_i b_i temos a_i\in I e b_i\in J\subseteq R. Como I é um ideal (fechado para multiplicação por elementos de R), cada produto a_i b_i pertence a I. Como I é fechado sob soma, a soma x pertence a I. Logo qualquer elemento de I\cdot J está em I, isto é I\cdot J\subseteq I.

Passo 9

Mostrar que I\cdot J\subseteq J.
Analogamente, para x=\sum_{i=1}^{n} a_i b_i cada termo a_i b_i pertence a J porque b_i\in J e a_i\in R e J é ideal dois-lados (portanto fechado por multiplicação por escalares à esquerda e à direita). Somando, x\in J. Assim I\cdot J\subseteq J.

Passo 10

Conclusão de que I\cdot J\subseteq I\cap J.
Dos passos anteriores temos I\cdot J\subseteq I e I\cdot J\subseteq J. Portanto I\cdot J\subseteq I\cap J.

Passo 11

Exemplo concreto (para fixar a ideia): no anel \mathbb{Z} tome I=2\mathbb{Z} e J=3\mathbb{Z}. Então
I\cdot J=\{ \sum_{i=1}^n (2a_i)(3b_i) \}=\{6\cdot k \mid k\in\mathbb{Z}\}=6\mathbb{Z}.
E de fato 6\mathbb{Z} é um ideal contido em 2\mathbb{Z}\cap 3\mathbb{Z}=6\mathbb{Z}. Isso ilustra o resultado com números que dão intuição.

Resposta

I\cdot J é um ideal de R e I\cdot J\subseteq I\cap J.

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