Seja R um anel comutativo e com 1. Um elemento x \in \mathrm{R} é nilpotente se existe \mathrm{m} \in \mathbb{N}^{*} tal que x^{m}=0.
(a) \chi=0 ou \chi é um divisor de zero.
(b) Seja I=\{x \in R \mid x é nilpotente \}. Mostre que r I \subseteq I. Nestas condições, I é chamado de nilradical de R .
(c) Se x é nilpotente, mostre que \sum_{n=0}^{\infty} x^{n} converge e use somas telescópicas para mostrar que 1-x é invertível com (1-x)^{-1}=\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}.
(d) () Mostre que o nilradical é um ideal de R. Dica: Suponha que a fórmula do binômio de Newton valha (e, de fato, ela vale) para mostrar que se \mathrm{x}^{\mathrm{n}}=\mathrm{y}^{\mathrm{m}}=0, então (\mathrm{x}+\mathrm{y})^{\mathrm{m}+\mathrm{n}}= 0.
(
) exercício complementar.

Passo 1

O enunciado dá um anel comutativo com unidade R e a definição: um elemento x\in R é nilpotente se existe m\in\mathbb{N}^* tal que x^{m}=0.
As perguntas/propriedades a mostrar são:
(a) Mostrar que se x é nilpotente então ou x=0 ou x é divisor de zero (isto é, provar \,x=0 ou \exists y\ne0 com xy=0).
(b) Definindo I=\{x\in R\mid x\\ \text{é nilpotente}\}é, mostrar que rI\subseteq I para todo r\in R (isto é, se x\in I então rx\in I).
(c) Se x é nilpotente, mostrar que \sum_{n=0}^{\infty} x^{n} “converge” (no sentido de que a soma é efetivamente finita) e usar somas telescópicas para mostrar que 1-x é invertível com (1-x)^{-1}=\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}.
(d) (complementar) Mostrar que I é um ideal de R. Dica: usar o teorema do binômio de Newton para provar que se x^{n}=0 e y^{m}=0 então (x+y)^{m+n}=0.

Passo 2

(a) Primeiro, vamos entender o que é divisor de zero: um elemento a\in R é um divisor de zero se existe b\in R, b\neq 0, tal que ab=0.
Agora a prova. Suponha que x\in R seja nilpotente, ou seja existe m\in\mathbb{N}^* com x^{m}=0. Entre todos os inteiros positivos com essa propriedade, tome m o menor (isso é possível porque os naturais são bem-ordenados). Dois casos:
  • Se m=1 então x^{1}=x=0. Pronto.
  • Se m>1 então, pela minimalidade de m, tem-se x^{m-1}\neq 0. Mas x\cdot x^{m-1}=x^{m}=0. Portanto x multiplica um elemento não nulo ( x^{m-1}) e dá zero, isto é, x é divisor de zero.
Conclusão do passo: qualquer elemento nilpotente é ou zero ou divisor de zero.

Passo 3

(b) Queremos mostrar que rI\subseteq I para todo r\in R. Tome r\in R e x\in I. Como x é nilpotente, existe m\in\mathbb{N}^* tal que x^{m}=0. Usamos que R é comutativo (importante para rearranjar fatores). Então
(rx)^{m}=r^{m}x^{m}.
Como x^{m}=0, segue r^{m}x^{m}=r^{m}\cdot 0=0. Assim (rx)^{m}=0, logo rx é nilpotente, isto é rx\in I. Como r e x foram arbitrários, rI\subseteq I.
Observação didática rápida: a igualdade (rx)^{m}=r^{m}x^{m} segue por indução ou pela comutatividade (cada fator rx pode ser reordenado como r x e agrupado em r^m x^m).

Passo 4

(c) Agora mostramos que a soma \sum_{n=0}^{\infty} x^{n} converge no sentido algébrico (ou seja, que ela é uma soma finita na prática). Se x é nilpotente, existe m com x^{m}=0. Então para todo n\ge m temos x^{n}=0. Portanto a série \sum_{n=0}^{\infty} x^{n} tem apenas os termos x^{0},x^{1},\dots,x^{m-1} não nulos; é uma soma finita:
\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}=\sum_{n=0}^{m-1} x^{n}.
Isto justifica dizer que a série “converge” no anel R.
Agora a parte das somas telescópicas: para um N\ge 0 defina a soma parcial
S_N=\sum_{n=0}^{N} x^{n}.
Calcule o produto (1-x)S_N. Usando distribuição:
(1-x)S_N = S_N - xS_N = \sum_{n=0}^{N} x^{n} - \sum_{n=0}^{N} x^{n+1}.
Reindexando a segunda soma (ou observando cancelamentos termo a termo), obtém-se o telescópico
(1-x)S_N = 1 - x^{N+1}.
Se agora escolhermos N\ge m-1, então x^{N+1}=0 (pois N+1\ge m), e portanto
(1-x)S_N = 1.
Assim S_N é inverso à esquerda de 1-x. Como o anel é comutativo a mesma conta mostra que S_N(1-x)=1, logo S_N é inverso à direita também, e portanto é o inverso multiplicativo de 1-x. Concluímos que 1-x é invertível e
(1-x)^{-1}=\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}=\sum_{n=0}^{m-1} x^{n}.
Exemplo pequeno para fixar: se x^3=0 então (1-x)^{-1}=1+x+x^{2} porque (1-x)(1+x+x^{2})=1-x^{3}=1.

Passo 5

(d) Mostrar que I é um ideal. Já provamos em (b) que rI\subseteq I para todo r\in R, ou seja, I é fechado sob multiplicação por elementos de R. Falta mostrar que I é fechado sob adição e contém o inverso aditivo de cada um de seus elementos.
  1. Fechamento por adição. Tome x,y\in I. Então existem n,m\in\mathbb{N}^* tais que x^{n}=0 e y^{m}=0. Vamos mostrar que x+y é nilpotente, isto é, (x+y)^{m+n}=0. Pela fórmula do binômio de Newton (válida aqui pois R é comutativo), tem
(x+y)^{m+n}=\sum_{k=0}^{m+n}\binom{m+n}{k} x^{k}y^{\,m+n-k}.
Agora para cada termo com índice k\in\{0,\dots,m+n\} consideramos dois casos:
  • Se k\ge n então x^{k}=0 porque k\ge n e x^{n}=0 implica x^{k}=x^{n}\cdot x^{k-n}=0.
  • Se k\le n-1 então m+n-k \ge m+n-(n-1)=m+1> m-1, em particular m+n-k\ge m, logo y^{m+n-k}=0 porque y^{m}=0 implica qualquer potência maior ou igual a m ser zero.
Portanto cada termo da soma binomial é zero, e assim (x+y)^{m+n}=0. Logo x+y é nilpotente, isto é x+y\in I. Portanto I é fechado por adição.
  1. Fechamento por inverso aditivo. Se x\in I com x^{n}=0 então (-x)^{n}=(-1)^{n}x^{n}=(-1)^{n}0=0. Assim -x é nilpotente e -x\in I.
Juntando: I é fechado por adição, contém os negativos e é fechado por multiplicação por escalares r\in R. Logo I é um ideal de R. Esse ideal é chamado nilradical de R.

Resposta

(a) Se x é nilpotente então x=0 ou x é divisor de zero.
(b) rI\subseteq I para todo r\in R.
(c) Se x é nilpotente, \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}=\sum_{n=0}^{m-1}x^{n} (soma finita) e (1-x)^{-1}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}.
(d) O conjunto I dos elementos nilpotentes é um ideal de R (nilradical).

Exercícios relacionados