Seja R um anel comutativo e com 1. Um elemento
é nilpotente se existe
tal que
.
(a)
ou
é um divisor de zero.
(b) Seja
é nilpotente
. Mostre que
I. Nestas condições, I é chamado de nilradical de R .
(c) Se
é nilpotente, mostre que
converge e use somas telescópicas para mostrar que
é invertível com
.
(d) () Mostre que o nilradical é um ideal de R. Dica: Suponha que a fórmula do binômio de Newton valha (e, de fato, ela vale) para mostrar que se
, então
0.
() exercício complementar.
(a)
(b) Seja
(c) Se
(d) () Mostre que o nilradical é um ideal de R. Dica: Suponha que a fórmula do binômio de Newton valha (e, de fato, ela vale) para mostrar que se
() exercício complementar.
Passo 1
O enunciado dá um anel comutativo com unidade
e a definição: um elemento
é nilpotente se existe
tal que
.
As perguntas/propriedades a mostrar são:
(a) Mostrar que se é nilpotente então ou
ou
é divisor de zero (isto é, provar
ou
com
).
(b) Definindo , mostrar que
para todo
(isto é, se
então
).
(c) Se é nilpotente, mostrar que
“converge” (no sentido de que a soma é efetivamente finita) e usar somas telescópicas para mostrar que
é invertível com
.
(d) (complementar) Mostrar que é um ideal de
. Dica: usar o teorema do binômio de Newton para provar que se
e
então
.
(a) Mostrar que se
(b) Definindo
(c) Se
(d) (complementar) Mostrar que
Passo 2
(a) Primeiro, vamos entender o que é divisor de zero: um elemento
é um divisor de zero se existe
,
, tal que
.
Agora a prova. Suponha que
seja nilpotente, ou seja existe
com
. Entre todos os inteiros positivos com essa propriedade, tome
o menor (isso é possível porque os naturais são bem-ordenados). Dois casos:
- Se
então . Pronto. - Se
então, pela minimalidade de , tem-se . Mas . Portanto multiplica um elemento não nulo ( ) e dá zero, isto é, é divisor de zero.
Conclusão do passo: qualquer elemento nilpotente é ou zero ou divisor de zero.
Passo 3
(b) Queremos mostrar que
para todo
. Tome
e
. Como
é nilpotente, existe
tal que
. Usamos que
é comutativo (importante para rearranjar fatores). Então
Como
, segue
. Assim
, logo
é nilpotente, isto é
. Como
e
foram arbitrários,
.
Observação didática rápida: a igualdade
segue por indução ou pela comutatividade (cada fator
pode ser reordenado como
e agrupado em
).
Passo 4
(c) Agora mostramos que a soma
converge no sentido algébrico (ou seja, que ela é uma soma finita na prática). Se
é nilpotente, existe
com
. Então para todo
temos
. Portanto a série
tem apenas os termos
não nulos; é uma soma finita:
Isto justifica dizer que a série “converge” no anel
.
Agora a parte das somas telescópicas: para um
defina a soma parcial
Calcule o produto
. Usando distribuição:
Reindexando a segunda soma (ou observando cancelamentos termo a termo), obtém-se o telescópico
Se agora escolhermos
, então
(pois
), e portanto
Assim
é inverso à esquerda de
. Como o anel é comutativo a mesma conta mostra que
, logo
é inverso à direita também, e portanto é o inverso multiplicativo de
. Concluímos que
é invertível e
Exemplo pequeno para fixar: se
então
porque
.
Passo 5
(d) Mostrar que
é um ideal. Já provamos em (b) que
para todo
, ou seja,
é fechado sob multiplicação por elementos de
. Falta mostrar que
é fechado sob adição e contém o inverso aditivo de cada um de seus elementos.
- Fechamento por adição. Tome
. Então existem tais que e . Vamos mostrar que é nilpotente, isto é, . Pela fórmula do binômio de Newton (válida aqui pois é comutativo), tem
Agora para cada termo com índice
consideramos dois casos:
- Se
então porque e implica . - Se
então , em particular , logo porque implica qualquer potência maior ou igual a ser zero.
Portanto cada termo da soma binomial é zero, e assim
. Logo
é nilpotente, isto é
. Portanto
é fechado por adição.
- Fechamento por inverso aditivo. Se
com então . Assim é nilpotente e .
Juntando:
é fechado por adição, contém os negativos e é fechado por multiplicação por escalares
. Logo
é um ideal de
. Esse ideal é chamado nilradical de
.
Resposta
(a) Se
é nilpotente então
ou
é divisor de zero.
(b) para todo
.
(c) Se é nilpotente,
(soma finita) e
.
(d) O conjunto dos elementos nilpotentes é um ideal de
(nilradical).
(b)
(c) Se
(d) O conjunto