Seja
um anel com
. Sejam
tal que
e
para todas as outras entradas (matrizes elementares).
(a) Prove que
é a matriz cuja
-ésima linha é igual à
-ésima linha de
e todas as demais linhas são nulas.
(b) Prove que
é a matriz cuja
-ésima coluna é igual i-ésima coluna de
e todas as outras colunas são nulas.
(c) Use os itens anteriores para concluir que
é a matriz cuja entrada (
) é
e todas as demais entradas são nulas (ou seja,
).
(d) Prove que: I é ideal de R se, e somente se,
é ideal de
. (Está no AVA!)
(a) Prove que
(b) Prove que
(c) Use os itens anteriores para concluir que
(d) Prove que: I é ideal de R se, e somente se,
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede as afirmações abaixo.
- Dado um anel
com . - Seja
. - Para
, seja a matriz elementar com e para .
O que devemos provar:
(a) Que
é a matriz cuja
-ésima linha é igual à
-ésima linha de
e todas as demais linhas são nulas.
(b) Que
é a matriz cuja
-ésima coluna é igual à
-ésima coluna de
e todas as outras colunas são nulas.
(c) Que
é a matriz com única entrada possivelmente não nula na posição
, e essa entrada vale
; em símbolos,
.
(d) Que
é ideal de
se, e somente se,
é ideal de
.
Neste passo não vamos resolver nada; apenas deixei claro o que se dá e o que se pede.
Passo 2
Lembrando a definição de multiplicação de matrizes (isso é essencial e é a ferramenta que vamos usar passo a passo):
- Se
e são matrizes em , então a entrada do produto é
Expliquei em palavras: para calcular a entrada
multiplica-se a linha
de
pelas colunas
de
termo a termo e soma-se tudo.
Também introduzo uma notação útil (que eu vou usar só para clareza): o símbolo
(delta de Kronecker) vale
se
e vale
se
. No nosso caso, as entradas de
são
Isto é, só a posição
é 1; todas as outras são 0.
Passo 3
Vamos calcular a entrada
da matriz
usando a definição do produto:
Mas
. Substituindo:
A soma em
só tem termo não-nulo quando
. Portanto
Isto significa que, para cada coluna
:
- se
então (a linha de é a linha de ); - se
então (todas as outras linhas são nulas).
Isso prova exatamente (a). Uma maneira intuitiva:
“pega” a linha
de
e coloca na linha
, anulando as outras.
Passo 4
Para fixar a ideia, imagine
. Se
tem linhas
e tomarmos
, então
terá linha 2 igual a
e linhas 1 e 3 nulas. Isto segue diretamente da fórmula
.
Passo 5
Agora calculamos a entrada
de
:
Usando
obtemos
Portanto, para cada linha
:
- se
então (a coluna de é igual à coluna de ); - se
então (todas as outras colunas são nulas).
Isto prova (b). Intuitivamente: multiplicar à direita por
copia a coluna
de
para a coluna
e zera as demais colunas.
Passo 6
Usando os resultados já provados é rápido:
-
Primeiro,
tem apenas a linha possivelmente não-nula, e essa linha é a linha de . Logo e para . -
Agora
tem, por (b), apenas a coluna possivelmente não-nula, e essa coluna é a coluna de . Então a única entrada possivelmente não-nula de é na posição e vale .
Mas
. Portanto a única entrada não-nula de
é
e ela vale
. Em notação compacta:
Passo 7
Para quem gosta de ver tudo pelo índice, calcule diretamente:
Mas
e
. Substituindo:
Isto mostra que a única posição com valor não nulo é
e aí o valor é
, ou seja novamente
.
Passo 8
Definimos
Se
é ideal de
, então soma e diferença de entradas em
permanecem em
, logo
é subgrupo aditivo de
. Agora para qualquer
e
temos, usando a definição de produto por entradas,
Cada termo
está em
porque
e
é ideal (absorve multiplicação por elementos de
). Soma de elementos de
está em
. Logo todas as entradas de
estão em
, então
. Analogamente
. Portanto
é ideal bilateral de
.
Passo 9
Agora suponha
é ideal de
. Queremos provar que
é ideal de
. Tomemos
e
. Considere a matriz
. Temos
(pois sua única entrada não-nula é
). Considere também as matrizes
e
(podem ser as mesmas para a esquerda e para a direita). Como
é ideal,
e
.
Usando o item (c) (caso particular), temos
Como
, a entrada
de
pertence a
; isto é
. Do mesmo modo,
então
. Portanto
é absorvente à esquerda e à direita por
, ou seja,
é ideal bilateral de
. (Se trabalhar apenas com ideais à esquerda/direita, o mesmo argumento mostra a versão correspondente.)
Assim mostramos ambas as implicações.
Passo 10
Concluímos todos os itens pedindo: (a), (b) e (c) por cálculo índice-a-índice e (d) usando a propriedade das matrizes unitárias
e o resultado de (c). Boa! Essas manipulações com as matrizes elementares são muito úteis: elas permitem “acessar” entradas individuais de produtos matriciais e são uma ferramenta padrão em álgebra linear abstrata e teoria de anéis.
Resposta
(a)
é a matriz cuja
-ésima linha é igual à
-ésima linha de
e todas as demais linhas são nulas.
(b)
é a matriz cuja
-ésima coluna é igual à
-ésima coluna de
e todas as outras colunas são nulas.
(c)
.
(d)
é ideal de
se, e somente se,
é ideal de
.