Seja S um anel com 1 \neq 0. Sejam A=\left(a_{i j}\right) \in M_{n} S, E_{u v}=\left(e_{i j}\right) tal que e_{u v}=1 e e_{i j}=0 para todas as outras entradas (matrizes elementares).
(a) Prove que E_{i j} A é a matriz cuja i-ésima linha é igual à j-ésima linha de A e todas as demais linhas são nulas.
(b) Prove que A E_{i j} é a matriz cuja j-ésima coluna é igual i-ésima coluna de A e todas as outras colunas são nulas.
(c) Use os itens anteriores para concluir que E_{p q} A E_{r s} é a matriz cuja entrada ( p, s ) é a_{q r} e todas as demais entradas são nulas (ou seja, \mathrm{E}_{\mathrm{pq}} A \mathrm{E}_{\mathrm{rs}}=\mathrm{a}_{\mathrm{qr}} \mathrm{E}_{\mathrm{ps}} ).
(d) Prove que: I é ideal de R se, e somente se, \mathrm{M}_{\mathrm{n}}(\mathrm{I}) é ideal de \mathrm{M}_{\mathrm{n}}(\mathrm{R}). (Está no AVA!)

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede as afirmações abaixo.
  • Dado um anel S com 1\neq0.
  • Seja A=(a_{ij})\in M_n(S).
  • Para 1\le u,v\le n, seja E_{uv}=(e_{ij})\in M_n(S) a matriz elementar com e_{uv}=1 e e_{ij}=0 para (i,j)\neq(u,v).
O que devemos provar:
(a) Que E_{ij}A é a matriz cuja i-ésima linha é igual à j-ésima linha de A e todas as demais linhas são nulas.
(b) Que A E_{ij} é a matriz cuja j-ésima coluna é igual à i-ésima coluna de A e todas as outras colunas são nulas.
(c) Que E_{pq} A E_{rs} é a matriz com única entrada possivelmente não nula na posição (p,s), e essa entrada vale a_{q r}; em símbolos, E_{pq} A E_{rs}=a_{q r} E_{ps}.
(d) Que I é ideal de R se, e somente se, M_n(I) é ideal de M_n(R).
Neste passo não vamos resolver nada; apenas deixei claro o que se dá e o que se pede.

Passo 2

Lembrando a definição de multiplicação de matrizes (isso é essencial e é a ferramenta que vamos usar passo a passo):
  • Se B=(b_{ij}) e C=(c_{ij}) são matrizes em M_n(S), então a entrada (i,j) do produto BC é
(BC)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} b_{ik}c_{kj}.
Expliquei em palavras: para calcular a entrada (i,j) multiplica-se a linha i de B pelas colunas j de C termo a termo e soma-se tudo.
Também introduzo uma notação útil (que eu vou usar só para clareza): o símbolo \delta_{uv} (delta de Kronecker) vale 1 se u=v e vale 0 se u\neq v. No nosso caso, as entradas de E_{ij} são
(E_{ij})_{pq}=\delta_{p,i}\,\delta_{q,j}.
Isto é, só a posição (i,j) é 1; todas as outras são 0.

Passo 3

Vamos calcular a entrada (p,q) da matriz E_{ij}A usando a definição do produto:
(E_{ij}A)_{p q}=\sum_{k=1}^{n} (E_{ij})_{p k}\,a_{k q}.
Mas (E_{ij})_{p k}=\delta_{p,i}\,\delta_{k,j}. Substituindo:
(E_{ij}A)_{p q}=\sum_{k=1}^{n} \delta_{p,i}\,\delta_{k,j}\,a_{k q}.
A soma em k só tem termo não-nulo quando k=j. Portanto
(E_{ij}A)_{p q}=\delta_{p,i}\,a_{j q}.
Isto significa que, para cada coluna q:
  • se p=i então (E_{ij}A)_{i q}=a_{j q} (a linha i de E_{ij}A é a linha j de A);
  • se p\neq i então (E_{ij}A)_{p q}=0 (todas as outras linhas são nulas).
Isso prova exatamente (a). Uma maneira intuitiva: E_{ij} “pega” a linha j de A e coloca na linha i, anulando as outras.

Passo 4

Para fixar a ideia, imagine n=3. Se A tem linhas L_1,L_2,L_3 e tomarmos E_{2,3}, então E_{2,3}A terá linha 2 igual a L_3 e linhas 1 e 3 nulas. Isto segue diretamente da fórmula (E_{ij}A)_{pq}=\delta_{p,i} a_{jq}.

Passo 5

Agora calculamos a entrada (p,q) de A E_{ij}:
(AE_{ij})_{p q}=\sum_{k=1}^{n} a_{p k}\,(E_{ij})_{k q}.
Usando (E_{ij})_{k q}=\delta_{k,i}\,\delta_{q,j} obtemos
(AE_{ij})_{p q}=\sum_{k=1}^{n} a_{p k}\,\delta_{k,i}\,\delta_{q,j}=a_{p i}\,\delta_{q,j}.
Portanto, para cada linha p:
  • se q=j então (AE_{ij})_{p j}=a_{p i} (a coluna j de AE_{ij} é igual à coluna i de A);
  • se q\neq j então (AE_{ij})_{p q}=0 (todas as outras colunas são nulas).
Isto prova (b). Intuitivamente: multiplicar à direita por E_{ij} copia a coluna i de A para a coluna j e zera as demais colunas.

Passo 6

Usando os resultados já provados é rápido:
  • Primeiro, B:=E_{pq}A tem apenas a linha p possivelmente não-nula, e essa linha é a linha q de A. Logo B_{p t}=a_{q t} e B_{x t}=0 para x\neq p.
  • Agora B E_{rs} tem, por (b), apenas a coluna s possivelmente não-nula, e essa coluna é a coluna r de B. Então a única entrada possivelmente não-nula de B E_{rs} é na posição (p,s) e vale B_{p r}.
Mas B_{p r}=a_{q r}. Portanto a única entrada não-nula de E_{pq} A E_{rs} é (p,s) e ela vale a_{q r}. Em notação compacta:
E_{pq} A E_{rs}=a_{q r}\,E_{p s}.

Passo 7

Para quem gosta de ver tudo pelo índice, calcule diretamente:
(E_{pq} A E_{rs})_{ij}=\sum_{k,\ell=1}^{n} (E_{pq})_{i k}\,a_{k\ell}\,(E_{rs})_{\ell j}.
Mas (E_{pq})_{ik}=\delta_{i,p}\delta_{k,q} e (E_{rs})_{\ell j}=\delta_{\ell,r}\delta_{j,s}. Substituindo:
(E_{pq} A E_{rs})_{ij}=\sum_{k,\ell} \delta_{i,p}\delta_{k,q}\,a_{k\ell}\,\delta_{\ell,r}\delta_{j,s} =\delta_{i,p}\delta_{j,s}\,a_{q r}.
Isto mostra que a única posição com valor não nulo é (i,j)=(p,s) e aí o valor é a_{q r}, ou seja novamente E_{pq} A E_{rs}=a_{q r}E_{ps}.

Passo 8

Definimos
M_n(I)=\{\,X=(x_{ij})\in M_n(R)\mid x_{ij}\in I\\ \text{para todos }i,j\,\}.
Se I é ideal de R, então soma e diferença de entradas em I permanecem em I, logo M_n(I) é subgrupo aditivo de M_n(R). Agora para qualquer X\in M_n(I) e Y\in M_n(R) temos, usando a definição de produto por entradas,
(XY)_{ij}=\sum_{k=1}^n x_{ik}y_{kj}.
Cada termo x_{ik}y_{kj} está em I porque x_{ik}\in I e I é ideal (absorve multiplicação por elementos de R). Soma de elementos de I está em I. Logo todas as entradas de XY estão em I, então XY\in M_n(I). Analogamente YX\in M_n(I). Portanto M_n(I) é ideal bilateral de M_n(R).

Passo 9

Agora suponha M_n(I) é ideal de M_n(R). Queremos provar que I é ideal de R. Tomemos x\in I e r\in R. Considere a matriz X=xE_{11}. Temos X\in M_n(I) (pois sua única entrada não-nula é x\in I). Considere também as matrizes R_1=rE_{11} e R_2=rE_{11} (podem ser as mesmas para a esquerda e para a direita). Como M_n(I) é ideal, R_1 X\in M_n(I) e X R_2\in M_n(I).
Usando o item (c) (caso particular), temos
R_1 X = (rE_{11})(xE_{11}) = (r x) E_{11}.
Como R_1 X\in M_n(I), a entrada (1,1) de (r x)E_{11} pertence a I; isto é r x\in I. Do mesmo modo,
X R_2 = (xE_{11})(rE_{11})=(x r)E_{11}\in M_n(I),
então x r\in I. Portanto I é absorvente à esquerda e à direita por R, ou seja, I é ideal bilateral de R. (Se trabalhar apenas com ideais à esquerda/direita, o mesmo argumento mostra a versão correspondente.)
Assim mostramos ambas as implicações.

Passo 10

Concluímos todos os itens pedindo: (a), (b) e (c) por cálculo índice-a-índice e (d) usando a propriedade das matrizes unitárias E_{ij} e o resultado de (c). Boa! Essas manipulações com as matrizes elementares são muito úteis: elas permitem “acessar” entradas individuais de produtos matriciais e são uma ferramenta padrão em álgebra linear abstrata e teoria de anéis.

Resposta

(a) E_{ij}A é a matriz cuja i-ésima linha é igual à j-ésima linha de A e todas as demais linhas são nulas.
(b) A E_{ij} é a matriz cuja j-ésima coluna é igual à i-ésima coluna de A e todas as outras colunas são nulas.
(c) E_{pq} A E_{rs}=a_{q r}\,E_{p s}.
(d) I é ideal de R se, e somente se, M_n(I) é ideal de M_n(R).

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