Um elemento de aquecimento elétrico, cilíndrico, longo, de diâmetro D=10 mm, é instalado em um duto para o qual o ar escoa em corrente cruzada sobre um aquecedor a uma temperatura e velocidade de 27^circ C e 10 m / s, respectivamente. Desprezando a radiação, estime a temperatura da superfície em regime estacionário quando, por unidade de comprimento do aquecedor, energia elétrica esta sendo dissipada a uma taxa de 1000 W / m. Utilize a correlação de Churchill.

Passo 1

Então, o enunciado diz o seguinte: temos um elemento de aquecimento cilíndrico, diâmetro D = 10 mm, colocado num duto onde o ar passa de lado (corrente cruzada) a T∞ = 27 °C e V = 10 m/s. A dissipação de energia é q′ = 1000 W/m (por metro de comprimento). Desprezando radiação, queremos achar a temperatura de superfície Ts, em regime estacionário, usando a correlação de Churchill–Bernstein para o cilindro em escoamento transversal.
Conteúdo/matéria: transferência de calor por convecção externa, cálculo de Re, Pr, Nu e coeficiente de convecção h, e balanço de energia.

Passo 2

Primeiro a gente escolhe a temperatura de filme para obter propriedades do ar (Tfilme ≃ (Ts + T∞)/2). Como não sabemos Ts ainda, vamos chutar que a film temperature fique perto de T∞ ≃ 300 K (27 °C), e usar as propriedades do ar a 300 K:
ρ ≃ 1,17 kg/m³, μ ≃ 1,85×10⁻⁵ Pa·s, k ≃ 0,0263 W/m·K, cp ≃ 1007 J/kg·K.
Daí:
ν = μ/ρ ≃ 1,85×10⁻⁵ / 1,17 ≃ 1,58×10⁻⁵ m²/s
Pr = (cp·μ)/k ≃ (1007·1,85×10⁻⁵)/0,0263 ≃ 0,71

Passo 3

Calcular o número de Reynolds com D = 0,01 m e V = 10 m/s:
ReD = V,Dnu = 10cdot0,011,58times10^-5 approx 6,3times10^4

Passo 4

Agora aplicamos a correlação de Churchill–Bernstein para cilindro em escoamento transversal:
NuD = 0,3 ;+; 0,62,ReD^1/2,Pr^1/3 l[1+(0,4/Pr)^2/3r]^1/4 ;times; l[1+(ReD/2,82times10^5)^5/8r]^4/5
Vamos aos cálculos parciais:
Re_D^{1/2} ≃ (6,3×10⁴)^{0,5} ≃ 252
Pr^{1/3} ≃ 0,71^{0,333} ≃ 0,89
(0,4/Pr)^{2/3} ≃ (0,4/0,71)^{0,667} ≃ 0,66 → [1+0,66]^{1/4} ≃ 1,13
(Re_D/2,82×10⁵)^{5/8} ≃ (0,225)^{0,625} ≃ 0,39 → [1+0,39]^{4/5} ≃ 1,31
Então
NuD approx 0,3 ;+; 0,62cdot252cdot0,891,13times1,31 approx 0,3 + 138,81,13times1,31 approx 0,3 + 122,8times1,31 approx 0,3 + 160 approx 160

Passo 5

Com Nu em mãos, o coeficiente de convecção é
h = NuD,kD = 160cdot0,02630,01 approx 421;W/m²·K ²

Passo 6

No regime estacionário, a potência por metro de comprimento q′ escoa por convecção na superfície lateral do cilindro de área A′ = πD·1 m. Então:
q' = h;(pi,D);(Ts - Tinfty) ;Longrightarrow; Ts = Tinfty + q'h,pi,D
Substituindo
Ts = 300;K + 1000421cdotpicdot0,01 approx 300 + 100013,23 approx 300 + 75,6 approx 375,6;K
Em graus Celsius: Ts ≃ 375,6 K – 273,15 ≃ 102,5 °C.

Resposta

A temperatura de superfície do aquecedor, em regime estacionário, é aproximadamente 103 °C.

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