Sabe-se que o perfil de velocidade para um escoamento laminar no interior de uma tubulação de seção circular constante para um fluido incompressível, newtoniano em regime permanente, é dado pela seguinte equação:
vz=vmax [1-(rR)^2]
Sendo r a distância em relação ao centro da tubulação, R o raio da tubulação e v max a velocidade máxima do escoamento no centro da tubulação. Determine:
A velocidade média desse escoamento.

Passo 1

Beleza, o enunciado fala de um escoamento laminar em tubo circular com perfil parabólico de velocidades dado por
vz = vmaxl[1 - l(tfracrRr)^2r]
A matéria aqui é Mecânica dos Fluidos (escoamento em regime laminar), e o que vamos precisar é a definição de velocidade média em um fluxo:
vmédia = 1AintegralA vz , dA é
Ou seja, a gente vai integrar esse perfil de velocidade sobre a seção transversal do tubo e depois dividir pela área.

Passo 2

Primeiro, escreve a área diferencial num sistema cilíndrico:
dA = 2pi r,dr,
porque num anel de raio e espessura a “faixinha” de área é .

Passo 3

Agora, monta a integral da velocidade média:
vmédia = 1Aintegral0^R vz,dA = 1pi R^2integral0^R vmaxl[1 - l(tfracrRr)^2r],(2pi r,dr) é

Passo 4

Puxa o que é constante pra fora da integral:
vmédia = 2pi vmaxpi R^2 integral0^Rl(1 - r^2R^2r) r,dr = 2 vmaxR^2 integral0^Rl(r - r^3R^2r)dr é

Passo 5

Resolve as integrais separadas:
integral0^R r,dr = R^22, integral0^R r^3,dr = R^44
Então
integral0^Rl(r - r^3R^2r)dr = R^22 - 1R^2cdotR^44 = R^22 - R^24 = R^24

Passo 6

Substitui de volta em vmédia = 2 vmaxR^2cdotR^24 = 2 vmax4 = vmax2 é:
é

Resposta

A velocidade média do escoamento é
boxedvmédia = vmax2 é

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