Sabe-se que o perfil de velocidade para um escoamento laminar no interior de uma tubulação de seção circular constante para um fluido incompressível, newtoniano em regime permanente, é dado pela seguinte equação:
Sendo r a distância em relação ao centro da tubulação,
o raio da tubulação e
a velocidade máxima do escoamento no centro da tubulação. Determine:
A velocidade média desse escoamento.
A velocidade média desse escoamento.
Passo 1
Beleza, o enunciado fala de um escoamento laminar em tubo circular com perfil parabólico de velocidades dado por
A matéria aqui é Mecânica dos Fluidos (escoamento em regime laminar), e o que vamos precisar é a definição de velocidade média em um fluxo:
Ou seja, a gente vai integrar esse perfil de velocidade sobre a seção transversal do tubo e depois dividir pela área.
Passo 2
Primeiro, escreve a área diferencial num sistema cilíndrico:
porque num anel de raio
e espessura
a “faixinha” de área é
.
Passo 3
Agora, monta a integral da velocidade média:
Passo 4
Puxa o que é constante pra fora da integral:
Passo 5
Resolve as integrais separadas:
Então
Passo 6
Substitui de volta em
:
Resposta
A velocidade média do escoamento é