Sabe-se que o perfil de velocidade para um escoamento laminar no interior de uma tubulação de seção circular constante para um fluido incompressível, newtoniano em regime permanente, é dado pela seguinte equação:
vz=vmax [1-(rR)^2]
Sendo r a distância em relação ao centro da tubulação, R o raio da tubulação e v max a velocidade máxima do escoamento no centro da tubulação. Determine:
A tensão de cisalhamento na parede do tudo quando estiver escoando um fluido com mu=8,0 times 10^-3 Pa s ; v max =0,2 m / s, num tubo de 5,0 mm de diâmetro e

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos um escoamento laminar dentro de um tubo circular uniforme, com perfil de velocidade
vz(r)=vmaxl[1 - l(tfracrRr)^2r]
O que a gente precisa achar é a tensão de cisalhamento na parede do tubo (τ<sub>w</sub>), usando um fluido newtoniano de viscosidade μ.
Conteúdo: mecânica dos fluidos (escoamento laminar em tubo), definição de tensão de cisalhamento em fluido newtoniano e cálculo de derivada. Vamos usar que para um fluido newtoniano
tau(r) ;=;mu;dvzdr,,
e depois avaliaremos isso em .

Passo 2

Primeiro, lembra que em fluido newtoniano a tensão de cisalhamento local é
tau(r) = mu,dvzdr,
Ou seja, a gente precisa derivar o perfil em relação a e depois multiplicar por μ.

Passo 3

Vamos derivar
vz(r)=vmaxl[1 - l(tfracrRr)^2r]
em relação a dvzdr = vmax,ddrl(1 - tfracr^2R^2r) = vmaxl(0 - 2,tfracrR^2r) = -,2,vmax,rR^2 :

Passo 4

A tensão de cisalhamento na parede é em tauw = tau(R) = mu dvzdr|r=R = mu l(-2,vmax,RR^2r) = -,2,mu,vmaxR , então:
tauw = 2,mu,vmaxR
O sinal negativo só indica que o gradiente aponta para dentro; a magnitude da tensão é

Passo 5

Basta agora colocar os valores:
tauw = 2 times (8,0times10^-3) times 0,22,5times10^-3 = 2 times 8,0times10^-3 times 0,22,5times10^-3 = 0,00320,0025 approx 1,28Pa

o diâmetro é , logo

Resposta

A tensão de cisalhamento na parede do tubo é

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