Um elemento estrutural de material com σ_{L T}=100 \mathrm{MPa} e σ_{L C}=180 \mathrm{MPa} está sujeito a um estado plano de tensão. Calcule o coeficiente de segurança da situação em serviço considerando o critério de falha de Mohr para:
σ_{x}=40 \mathrm{MPa}, σ_{y}=18 \mathrm{MPa} e τ_{x y}=12 \mathrm{MPa};

Passo 1

O enunciado dá um material com resistência à tração \sigma_{LT}=100\\ \mathrm{MPa} e à compressão \sigma_{LC}=180\\ \mathrm{MPa}, submetido a um estado plano de tensão \sigma_x=40\\ \mathrm{MPa}, \sigma_y=18\\ \mathrm{MPa} e \tau_{xy}=12\\ \mathrm{MPa}. Queremos usar o critério de Mohr para calcular o coeficiente de segurança n. Para isso vamos (i) encontrar as tensões principais \sigma_1 e \sigma_2 e (ii) aplicar a fórmula adequada do critério de Mohr.

Passo 2

As tensões principais são
\sigma_{1,2} =\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}\;\pm\;\sqrt{\Bigl(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\Bigr)^{2}+\tau_{xy}^{2}}.
Calculando:
\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} =\frac{40 + 18}{2} =29\\ \mathrm{MPa},
\sqrt{\Bigl(\frac{40-18}{2}\Bigr)^{2}+12^{2}} =\sqrt{11^{2}+12^{2}} =\sqrt{265} \approx16{,}28\\ \mathrm{MPa}.
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\sigma_1 = 29 + 16{,}28 = 45{,}28\\ \mathrm{MPa}, \quad \sigma_2 = 29 - 16{,}28 = 12{,}72\\ \mathrm{MPa}.

Passo 3

Como \sigma_1>0 e \sigma_2>0, todo o círculo de Mohr está no ramo de tração. Nesse caso o critério de Mohr dá
n = \frac{\sigma_{LT}}{\sigma_1} =\frac{100}{45{,}28} \approx2{,}21.

Resposta

O coeficiente de segurança é aproximadamente n=2{,}21.

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